Сергей Петрович Шарый
630090, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева,6
Lavrentieva prosp., 6, Novosibirsk, 630090
Рассмотрена задача восстановления зависимостей по данным с неопределенностью, которая не описывается теоретико-вероятностными законами, но ограничена по величине и имеет интервальный характер, т.е. выражается интервалами возможных значений данных. Исследован наиболее общий случай, когда интервалы являются результатами измерений как в независимых (предикторных) переменных, так и в зависимой (критериальной) переменной. Введены понятия слабой и сильной согласованности данных и параметров функциональной зависимости. Формулировки задач сведены к исследованию и оцениванию различных множеств решений для интервальной системы уравнений, построенной по обрабатываемым данным. Подробно рассмотрено сильное согласование параметров и данных как более практичное, более адекватное реальности и обладающее лучшими теоретическими свойствами. Оценки параметров зависимости, получаемые с учетом сильного согласования, имеют полиномиальную вычислительную сложность, робастны, почти всегда имеют конечную вариабельность, а также лишь частично подвержены так называемому парадоксу Е. З. Демиденко. Предложена вычислительная технология решения задачи восстановления линейной зависимости в условиях интервальной неопределенности данных и с учетом требования сильного согласования. Ее основой служит техника, основанная на применении так называемого распознающего функционала множества решений задачи — специального отображения, которое знаком своих значений распознает принадлежность точки множеству решений и одновременно дает количественную меру этой принадлежности. Обсуждаются свойства распознающего функционала. Оценкой параметров восстанавливаемой зависимости принимается точка максимума этого функционала, которая обеспечивает наилучшее согласование параметров и данных (или их наименьшее рассогласование). Соответственно, практическая реализация этого подхода, названного «методом максимума согласования», сводится к численному нахождению безусловного максимума распознающего функционала — вогнутой негладкой функции. В заключение работы приведен конкретный пример решения задачи восстановления линейной функции по данным измерений с интервальной неопределенностью.
We consider the data fitting problem under uncertainty, which is not described by probabilistic laws, but is limited in magnitude and has an interval character, i.e., is expressed by the intervals of possible data values. The most general case is considered when the intervals represent the measurement results both in independent (predictor) variables and in the dependent (criterial) variables. The concepts of weak and strong compatibility of data and parameters of functional dependence are introduced. It is shown that the resulting formulations of problems are reduced to the study and estimation of various solution sets for an interval system of equations constructed from the processed data. We discuss in detail the strong compatibility of the parameters and data, as more practical, more adequate to the reality and possessing better theoretical properties. The estimates of the function parameters, obtained in view of the strong compatibility, have a polynomial computational complexity, are robust, almost always have finite variability, and are also only partially affected by the so-called Demidenko paradox. We also propose a computational technology for solving the problem of constructing a linear functional dependence under interval data uncertainty and take into account the requirement of strong compatibility. It is based on the application of the so-called recognizing functional of the problem solution set — a special mapping, which recognizes, by the sign of the values, whether a point belongs to the solution set and simultaneously provides a quantitative measure of this membership. The properties of the recognizing functional are discussed. The maximum point of this functional is taken as an estimate of the parameters of the functional dependency under construction, which ensures the best compatibility between the parameters and data (or their least discrepancy). Accordingly, the practical implementation of this approach, named «maximum compatibility method», is reduced to the computation of the unconditional maximum of the recognizing functional — a concave non-smooth function. A specific example of solving the data fitting problem for a linear function from measurement data with interval uncertainty is presented.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.