Александр Иванович Орлов
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5
Alexander I. Orlov
5, 2-ya Baumanskaya ul., Moscow, 105005
Методы проверки однородности двух независимых выборок — классическая область математической статистики. За более чем 111 лет с момента публикации основополагающей статьи Стьюдента разработаны различные критерии проверки статистической гипотезы однородности в различных постановках, изучены их свойства. Настала потребность в упорядочении совокупности найденных научных результатов. Необходим анализ всего многообразия постановок задач проверки статистических гипотез однородности двух независимых выборок, а также соответствующих статистических критериев. Такому анализу посвящена настоящая статья. В ней сведены основные результаты, касающиеся методов проверки однородности двух независимых выборок, и проведено их сравнительное изучение, позволяющее системно анализировать многообразие таких методов в целях выбора наиболее адекватного для обработки конкретных данных. На основе базовой вероятностно-статистической модели сформулированы основные постановки задачи проверки однородности двух независимых выборок. Приведен сравнительный анализ критериев Стьюдента и Крамера – Уэлча, предназначенных для проверки однородности математических ожиданий, обоснована рекомендация по широкому применению критерия Крамера – Уэлча. Из непараметрических методов проверки однородности рассмотрены критерии Вилкоксона, Смирнова, Лемана – Розенблатта. Разобраны два мифа о критерии Вилкоксона. На основе анализа публикаций основоположников показана некорректность термина «критерий Колмогорова – Смирнова». Для проверки абсолютной однородности, т.е. совпадения функций распределения выборок, рекомендовано использовать критерий Лемана – Розенблатта. Рассмотрены актуальные проблемы разработки и применения непараметрических критериев, в том числе различие номинальных и реальных уровней значимости, затрудняющее сравнение критериев по мощности, отмечена необходимость учета совпадений выборочных значений (с точки зрения классической теории математической статистики вероятность совпадений равна 0).
Methods for testing the homogeneity of two independent samples refer to a classic area of mathematical statistics. Various criteria for testing the statistical hypothesis of homogeneity in different statements have been developed and their properties have been studied for more than 110 years since publication of the fundamental Student’s article. Nowadays, the streamlining of the totality of gained scientific results has become an urgent problem. It is necessary to analyze the whole variety of problem statements for testing the statistical hypotheses of the homogeneity of two independent samples, as well as the corresponding statistical criteria. Such an analysis is the goal of the article. We summarize the main results regarding the methods for testing the homogeneity of two independent samples and their comparative study which allows system analysis of the diversity of such methods in order to select the most appropriate for processing specific data. The main statements of the problem of testing the homogeneity of two independent samples are formulated using the basic probabilistic-statistical model. A comparative analysis of the Student and Cramer — Welch criteria designed to test the homogeneity of mathematical expectations is presented along with substantiation of the recommendation on the widespread use of the Cramer – Welch criterion. The criteria of Wilcoxon, Smirnov, Lehmann – Rosenblatt are considered among nonparametric methods for testing homogeneity. Two myths about the Wilcoxon criteria are dismantled. Analysis of the publications of the founders revealed the incorrectness of the term «Kolmogorov – Smirnov criterion». To verify the absolute homogeneity, i.e. coincidence of the distribution functions of samples, it is recommended to use the Lehmann – Rosenblatt criterion. The current problems of the development and application of nonparametric criteria are discussed, including the difference between nominal and real significance levels, which complicates comparison of the criteria in power. The necessity of taking into account the coincidence of the sample values (from the view point of the classical theory of mathematical statistics, the probability of coincidences is 0) is marked.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.