Юрий Дмитриевич Григорьев
197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора А. Попова, 5
Yury D. Grigoriev
5 Professor A. Popov str., St. Petersburg, 197376
Рассмотрена задача построения Q-оптимальных планов эксперимента для полиномиальной регрессии на отрезке [–1, 1]. Показано, что известные планы Малютова – Федорова, использующие спектр D-оптимальных планов (спектр Лежандра), Q-оптимальными не являются. Этот вывод является непосредственным следствием замечания Шабадоса к гипотезе Эрдеша, опровергающим ее. Сама гипотеза Эрдеша заключалась в том, что спектр насыщенных D-оптимальных планов для полиномиальной регрессии на отрезке одновременно является и спектром насыщенных Q-оптимальных планов. Приведен насыщенный точный Q-оптимальный план для полиномиальной регрессии степени s = 3, подтверждающий замечание Шабадоса. Далее это утверждение переносится на непрерывные планы. Для случаев s = 3, 4 показано, что известная теорема Малютова – Федорова о непрерывных Q-оптимальных планах также неверна, хотя и остается справедливой для степеней s = 1, 2. Исследованы планы Малютова – Федорова со спектром Лежандра с точки зрения их близости к Q-оптимальным. На примерах показано, что они достаточно близки для малых степеней s полиномиальной регрессии. Найдено универсальное выражение для Q-оптимального распределения весов pi опорных точек xi в случае произвольного спектра. В качестве примера с помощью полученного выражения проведено табулирование распределения весов для планов Малютова – Федорова для s = 3, ..., 6. Отмечена общность полученного выражения для Q-оптимальных весов с A-оптимальным распределением весов (распределение Пукельсхайма) при той же постановке задачи. В заключение дана краткая рекомендация о численном построении Q-оптимальных планов. Отмечено, что помимо традиционных численных методов в данном случае могут быть использованы программные системы символьных вычислений, использующие методы результантов и исключения. Приводимые в статье примеры Q-оптимальных планов построены с использованием именно этих методов.
The problem of constructing Q-optimal experimental designs for polynomial regression on the interval [–1, 1] is considered. It is shown that well-known Malyutov – Fedorov designs using D-optimal designs (so-called Legendre spectrum) are other than Q-optimal designs. This statement is a direct consequence of Shabados remark which disproved the Erdős hypothesis that the spectrum (support points) of saturated D-optimal designs for polynomial regression on a segment appeared to be support points of saturated Q-optimal designs. We present a saturated exact Q-optimal design for polynomial regression with s = 3 which proves the Shabados notion and then extend this statement to approximate designs. It is shown that when s = 3, 4 the Malyutov – Fedorov theorem on approximate Q-optimal design is also incorrect, though it still stands for s = 1, 2. The Malyutov – Fedorov designs with Legendre spectrum are considered from the standpoint of their proximity to Q-optimal designs. Case studies revealed that they are close enough for small degrees s of polynomial regression. A universal expression for Q-optimal distribution of the weights pi for support points xi for an arbitrary spectrum is derived. The expression is used to tabulate the distribution of weights for Malyutov – Fedorov designs at s = 3, ..., 6. The general character of the obtained expression is noted for Q-optimal weights with A-optimal weight distribution (Pukelsheim distribution) for the same problem statement. In conclusion a brief recommendation on the numerical construction of Q-optimal designs is given. It is noted that in this case in addition to conventional numerical methods some software systems of symbolic computations using methods of resultants and elimination theory can be successfully applied. The examples of Q-optimal designs considered in the paper are constructed using precisely these methods.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.