zldmЗаводская лаборатория. Диагностика материаловIndustrial laboratory. Diagnostics of materials1028-68612588-0187ООО «Издательство «ТЕСТ-ЗЛ»10.26896/1028-6861-2021-87-5-76-84zldm-1422Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯMATHEMATICAL METHODS OF INVESTIGATIONСпециальные эмпирические процессы независимости, индексированные классом измеримых функцийSpecial empirical processes of independence indexed by classes of measurable functionsАбдушукуровА. А.AbdushukurovA. A.

Абдурахим Ахмедович Абдушукуров

100060, Ташкент, пр. Амира Тимура, д. 22

Abdurakhim A. Abdushukurov

22, prosp. Amir Temur, Tashkent, 100600

abdushukurov1710@gmail.comФилиал Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в городе ТашкентеУзбекистанM. V. Lomonosov Moscow State University, Tashkent BranchUzbekistan2021230520218757684Copyright © Абдушукуров А.А., 20212021Абдушукуров А.А.Abdushukurov A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.zldm.ru/jour/article/view/1422

При анализе статистических данных в медико-биологических исследованиях, в страховом деле, демографии, а также в других областях исследований практического характера, представляющие интерес случайные величины принимают определенные значения в зависимости от осуществления некоторых событий. Так, при испытаниях физических систем (индивидуумов) величины их наработок зависят от отказов подсистем, в страховом деле величины выплат страховых компаний своим клиентам зависят от страховых случаев. В таких экспериментальных ситуациях естественно возникают задачи исследования зависимости случайных величин от соответствующих событий. А в данных практических задачах необходимо исследовать предельные свойства эмпирических процессов, индексированных классами функций. Современная теория эмпирических процессов обобщает классические результаты законов больших чисел, центральных и других предельных теорем равномерно по всему классу индексации при наложении энтропийных условий. Эти теоремы являются обобщенными аналогами классических теорем Гливенко – Кантелли и Донскера. Для проверки независимости случайной величины и события в работе предложены специальные эмпирические процессы. Исследованы свойства сходимости эмпирических процессов к соответствующим гауссовским процессам. Полученные результаты использованы для проверки справедливости модели случайного цензурирования справа.

When analyzing statistical data in biomedical research, insurance, demography, as well as in other areas of practical research, random variables of interest take on certain values depending on the occurrence of certain events, e.g., when testing physical systems (individuals), the values of their operating time depend on the failures of subsystems; in the insurance business, the payments of insurance companies to their customers depends on insured events. In such experimental situations, the problems of studying the dependence of random variables on the corresponding events become rather important thus entailing the necessity to study the limiting properties of empirical processes indexed by classes of functions. The modern theory of empirical processes generalizes the classical results of the laws of large numbers, central and other limit theorems uniformly over the entire class of indexing under the imposition of entropy conditions. These theorems are generalized analogs of the classical theorems of Glivenko – Cantelli and Donsker. Special empirical processes are proposed in the study to check the independence of a random variable and an event. The properties of convergence of empirical processes to the corresponding Gaussian processes are analyzed. The results obtained are used to test the validity of the random right censoring model.

случайная величинанезависимостьэмпирические процессыэнтропиязакон больших чиселцентральная предельная теоремагауссовский процессслабая сходимостьслучайное цензурированиеrandom variableindependenceempirical processesentropylaw of large numberscentral- limit theoremGaussian processweak convergencerandom censoringReferencesAbdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. A class of special empirical process of independence / J. Siberian Federal Univ. Math. Phys. 2015. Vol. 8(2). P. 125 – 133.Abdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. A class of special empirical process of independence / J. Siberian Federal Univ. Math. Phys. 2015. Vol. 8(2). P. 125 – 133.Abdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. Sequential empirical process of independence / J. Siberian Federal Univ. Math. Phys. 2018. Vol. 5(11). P. 634 – 643.Abdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. Sequential empirical process of independence / J. Siberian Federal Univ. Math. Phys. 2018. Vol. 5(11). P. 634 – 643.Abdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. The uniform variants of the Glivenko-Cantelli and Donsker type theorems for a sequential integral processes of independence / American J. Theor. & Appl. Stat. 2020. Vol. 9(4). P. 121 – 126.Abdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. The uniform variants of the Glivenko-Cantelli and Donsker type theorems for a sequential integral processes of independence / American J. Theor. & Appl. Stat. 2020. Vol. 9(4). P. 121 – 126.Kakadjanova L. R. Uniform theorems of the Glivenko – Cantelli and Donsker type for the sequential integral of the independence process / Byull. Inst. Matem. 2020. N 2. P. 83 – 91 [in Russian].Kakadjanova L. R. Uniform theorems of the Glivenko – Cantelli and Donsker type for the sequential integral of the independence process / Byull. Inst. Matem. 2020. N 2. P. 83 – 91 [in Russian].Kakadjanova L. R. Test statistics based on independence process / Bull. Natl. Univ. Uzb. Math Nat. Sci. 2020. Vol. 3(2). P. 178 – 187.Kakadjanova L. R. Test statistics based on independence process / Bull. Natl. Univ. Uzb. Math Nat. Sci. 2020. Vol. 3(2). P. 178 – 187.Abdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. Empirical characteristic processes of independence / Byull. Inst. Matem. 2020. N 1. P. 41 – 52 [in Russian].Abdushukurov A. A., Kakadjanova L. R. Empirical characteristic processes of independence / Byull. Inst. Matem. 2020. N 1. P. 41 – 52 [in Russian].Abdushukurov A. A. Statistics of incomplete observations. — Tashkent, University, 2009. — 269 p. [in Russian].Abdushukurov A. A. Statistics of incomplete observations. — Tashkent, University, 2009. — 269 p. [in Russian].Dudley R. M. Uniform central limit theorems. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. — 472 p.Dudley R. M. Uniform central limit theorems. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. — 472 p.Dudley R. M. Notes on empirical process. — Cambridge, 2000. — 144 p.Dudley R. M. Notes on empirical process. — Cambridge, 2000. — 144 p.Mason D. M. Selected defenitions and results from modern empirical process theory. Comunicaciones del CIMAT. 1-17-01, 16.03.2017 (PE). — 105 p.Mason D. M. Selected defenitions and results from modern empirical process theory. Comunicaciones del CIMAT. 1-17-01, 16.03.2017 (PE). — 105 p.Ossiander Mina. A central limit theorems under metric entropy with L2 bracketing / Ann. Probab. 1987. Vol. 3(15). P. 897 – 919.Ossiander Mina. A central limit theorems under metric entropy with L2 bracketing / Ann. Probab. 1987. Vol. 3(15). P. 897 – 919.Van der Vaart A. W., Wellner J. A. Weak convergence and empirical processes. — Springer, 1996. — 367 p.Van der Vaart A. W., Wellner J. A. Weak convergence and empirical processes. — Springer, 1996. — 367 p.Van der Vaart A. W. Asymptotic Statistics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. — 443 p.Van der Vaart A. W. Asymptotic Statistics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. — 443 p.Vapnik V. N. Statistical learning theory. — New York: Wiley, 1998. — 740 p.Vapnik V. N. Statistical learning theory. — New York: Wiley, 1998. — 740 p.Csörgő S. Estimating in proportional hazards model of random censorship / Statistics. 1988. Vol. 19. N 3. P. 437 – 463.Csörgő S. Estimating in proportional hazards model of random censorship / Statistics. 1988. Vol. 19. N 3. P. 437 – 463.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.