zldmЗаводская лаборатория. Диагностика материаловIndustrial laboratory. Diagnostics of materials1028-68612588-0187ООО «Издательство «ТЕСТ-ЗЛ»10.26896/1028-6861-2022-88-3-73-80zldm-1620Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯMATHEMATICAL METHODS OF INVESTIGATIONСкалярная мера взаимосвязи между несколькими случайными векторамиScalar measure of the relationship between several random vectorsТырсинА. Н.TyrsinA. N.

Александр Николаевич Тырсин

625003, Тюмень, ул. Володарского, д. 6; 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Alexander N. Tyrsin

6, Volodarskogo ul., Tyumen, 625003; 19, Mira ul., Yekaterinburg, 620002

at2001@yandex.ruТюменский государственный университет; Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. ЕльцинаРоссияTyumen State University; The first President of Russia B. N. Yeltsin Ural Federal UniversityRussian Federation2022270320228837380Copyright © Тырсин А.Н., 20222022Тырсин А.Н.Tyrsin A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.zldm.ru/jour/article/view/1620

Рассмотрена задача оценивания тесноты взаимосвязи между несколькими случайными векторами произвольной размерности. Эти случайные векторы могут иметь произвольные многомерные непрерывные законы распределения. Ранее в рамках энтропийного подхода были получены показатели оценки тесноты корреляционной взаимосвязи между компонентами одного случайного вектора и между двумя случайными векторами. Цель работы — обобщение полученных ранее результатов на случай нескольких случайных векторов. Предложено аналитическое выражение для коэффициента тесноты взаимозависимости между случайными векторами. Он выражается через коэффициенты детерминации условных регрессий между компонентами случайных векторов. Для введенной скалярной меры взаимосвязи получен ряд частных результатов, которые оказались известными коэффициентами корреляционной связи. Для случая гауссовских случайных векторов выведена более простая формула. Она выражается через определители каждого из случайных векторов и определитель их объединения. Предложенный коэффициент может использоваться для исследования сетевых структур, состоящих из множества подсистем. В частности, введен коэффициент корреляции системы в вершине. Данная мера позволяет однозначно оценивать тесноту взаимозависимости между несколькими случайными векторами произвольных размерностей. Ее можно практически использовать на реальных выборках данных. Приведен пример расчета тесноты взаимосвязи между тремя гауссовыми случайными векторами.

The problem of estimating the closeness of co-relation (interdependence) between several random vectors of arbitrary dimension is considered. These random vectors can have arbitrary multidimensional continuous distribution laws. Earlier, within the framework of the entropy approach, indicators were obtained for estimating the closeness of the correlation relationship between the components of one random vector and between two random vectors. The goal of the study is to generalize the previously obtained results to the case of several random vectors. The analytical expression for the coefficient of the closeness of co-relation between several random vectors is obtained. This coefficient is expressed through the indices of determination of conditional regressions between the components of random vectors. For the introduced scalar measure of the relationship, a number of particular results were obtained, which turned out to be known correlation coefficients. A rather simple formula expressed through the determinants of each random vector and the determinant of their combination is derived for the case of Gaussian random vectors. The proposed coefficient can be used to study the network structures consisting of many subsystems. In particular, the interpretation of the correlation coefficient between the elements of the network structure and the other elements can be introduced as the correlation coefficient of the system at the vertex. The introduced measure is quite simply interpretable and allows an unambiguous assessing of the closeness of co-relation between several random vectors of arbitrary dimensions and can be used on real data samples. An example of calculating the closeness of the co-relation between three Gaussian random vectors is presented.

случайный векторвзаимозависимостьмерадифференциальная энтропияиндекс детерминациикорреляционная матрицаrandom vectorco-relation (interdependence)measuredifferential entropyindex of determinationcorrelation matrixReferencesHair J. F., Black W. C., Babin B. J. Multivariate Data Analysis. 8th ed. — Cengage, 2019. — 834 p.Hair J. F., Black W. C., Babin B. J. Multivariate Data Analysis. 8th ed. — Cengage, 2019. — 834 p.Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910 с.Probability and mathematical statistics: Encyclopedia. — Moscow: Bol’shaya Rossiiskaya Éntsiklopediya, 1999. — 910 p. [in Russian].Adachi K. Matrix-Based Introduction to Multivariate Data Analysis. 2nd ed. — Springer, 2020. — 457 p.Adachi K. Matrix-Based Introduction to Multivariate Data Analysis. 2nd ed. — Springer, 2020. — 457 p.Hardle W. K., Simar L. Applied Multivariate Statistical Analysis. 5th ed. — New York: Springer, 2019. — 550 p.Hardle W. K., Simar L. Applied Multivariate Statistical Analysis. 5th ed. — New York: Springer, 2019. — 550 p.Новиков Д. А. Сетевые структуры и организационные системы. — М.: ИПУ РАН, 2003. — 102 с.Novikov D. A. Network Structures and Organizational Systems. — Moscow: Izd. IPU RAN, 2003. — 102 p. [in Russian]Algaba E., van den Brink R., Dietz C. Network Structures with Hierarchy and Communication / J. Optimization Theory Appl. 2018. Vol. 179. P. 265 – 282. DOI: 10.1007/s10957-018-1348-8Algaba E., van den Brink R., Dietz C. Network Structures with Hierarchy and Communication / J. Optimization Theory Appl. 2018. Vol. 179. P. 265 – 282. DOI: 10.1007/s10957-018-1348-8Dodonov A., Lande D. Modeling the survivability of network structures / CEUR Workshop Proceedings. 2021. Vol. 2859. P. 1 – 10.Dodonov A., Lande D. Modeling the survivability of network structures / CEUR Workshop Proceedings. 2021. Vol. 2859. P. 1 – 10.Тырсин А. Н. Скалярная мера взаимозависимости между случайными векторами / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2018. Т. 84. № 7. С. 76 – 82. DOI: 10.26896/1028-6861-2018-84-7-76-82Tyrsin A. N. Scalar measure of the interdependence between random vectors / Zavod. Lab. Diagn. Mater. 2018. Vol. 84. N 7. P. 76 – 82 [in Russian]. DOI: 10.26896/1028-6861-2018-84-7-76-82Тырсин А. Н. Мера совместной корреляционной зависимости многомерных случайных величин / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2014. Т. 80. № 1. С. 76 – 80.Tyrsin A. N. Measure of joint correlation dependence of multidimensional random variables / Zavod. Lab. Diagn. Mater. 2014. Vol. 80. N 1. P. 76 – 80 [in Russian].Shannon C. E. A Mathematical Theory of Communication / The Bell Syst. Tech. J. 1948. Vol. 27. N 4. P. 623 – 656.Shannon C. E. A Mathematical Theory of Communication / The Bell Syst. Tech. J. 1948. Vol. 27. N 4. P. 623 – 656.Тырсин А. Н. Энтропийное моделирование многомерных стохастических систем. — Воронеж: Научная книга, 2016. — 156 с.Tyrsin A. N. Entropy modeling of multidimensional stochastic systems. — Voronezh: Nauchnaya kniga, 2016. — 156 p. [in Russian].Pena D., Van der Linde A. Dimensionless Measures of Variability and Dependence for Multivariate Continuous Distributions / Comm. Stat. Theory Meth. 2007. Vol. 36. N 10. P. 1845 – 1854. DOI: 10.1080/03610920601126449Pena D., Van der Linde A. Dimensionless Measures of Variability and Dependence for Multivariate Continuous Distributions / Comm. Stat. Theory Meth. 2007. Vol. 36. N 10. P. 1845 – 1854. DOI: 10.1080/03610920601126449Chesneau Ch., El Kolei S., Kou J., Navarro F. Nonparametric estimation in a regression model with additive and multiplicative noise / J. Comput. Appl. Math. 2020. Vol. 380. P. 1 – 26. Art. 112971. DOI: 10.1016/j.cam.2020.112971Chesneau Ch., El Kolei S., Kou J., Navarro F. Nonparametric estimation in a regression model with additive and multiplicative noise / J. Comput. Appl. Math. 2020. Vol. 380. P. 1 – 26. Art. 112971. DOI: 10.1016/j.cam.2020.112971Chandna S., Maugis P.-A. Nonparametric regression for multiple heterogeneous networks / arXiv preprint arXiv: 2001. 04938, 2020. — 26 p.Chandna S., Maugis P.-A. Nonparametric regression for multiple heterogeneous networks / arXiv preprint arXiv: 2001. 04938, 2020. — 26 p.Cizek P., Sadıkoglu S. Robust nonparametric regression: A review / WIREs Comput Stat. e1492. 2019. Vol. 12. N 3. P. 1 – 16. DOI: 10.1002/wics.1492Cizek P., Sadıkoglu S. Robust nonparametric regression: A review / WIREs Comput Stat. e1492. 2019. Vol. 12. N 3. P. 1 – 16. DOI: 10.1002/wics.1492Maharani M., Saputro D. R. S. Generalized Cross Validation (GCV) in Smoothing Spline Nonparametric Regression Models / J. Phys. Conf. Ser. 2021. Vol. 1808. P. 1 – 7. Art. 012053. DOI: 10.1088/1742-6596/1808/1/012053Maharani M., Saputro D. R. S. Generalized Cross Validation (GCV) in Smoothing Spline Nonparametric Regression Models / J. Phys. Conf. Ser. 2021. Vol. 1808. P. 1 – 7. Art. 012053. DOI: 10.1088/1742-6596/1808/1/012053

The authors declare that there are no conflicts of interest present.