Никита Васильевич Скибицкий
111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14
Nikita V. Skibitskiy
14, Krasnokazarmennaya ul., Moscow, 111250
Рассмотрена задача оптимального управления линейным динамическим объектом в условиях неполной информации об исходных данных. Проведен анализ подходов, базирующихся на различных моделях описания неопределенности. Показано, что использование подхода, основанного на вероятностной модели описания неопределенности, целесообразно лишь в случае, когда неопределенность связана только со случайностью, описание других источников неопределенности в рамках этой модели затруднительно, а формальное применение аппарата регрессионного анализа дает результаты, далекие от истинных. Нечеткая модель пригодна для описания широкого спектра источников неопределенности, однако ее применение встречает методологические трудности при сравнении и ранжировании нечетких чисел и сглаживании нечетких данных. В этой связи представляется перспективным применение подхода, основанного на интервальной модели, позволяющей описать широкий класс неопределенных и неточных исходных данных. В целях унификации алгоритмов управления для систем, описываемых уравнениями состояния различного вида с интервально заданными параметрами, разработан алгоритм эквивалентных преобразований, позволяющий осуществлять переход к специальным формам представления матрицы состояния, обеспечивая при этом сохранение всех динамических свойств исходной системы. Для обеспечения реализации алгоритма решены задачи построения области значений корней матрицы системы и ее описания приближением в виде интервального вектора. Предложен подход к решению задач терминального управления и максимального быстродействия, когда неопределенность в исходных данных описывается интервальной моделью, а для решения задачи используется аппарат интервального анализа. Показано, что в этом случае при непосредственном использовании классической постановки задачи оптимального управления без учета неопределенности не существует единственного оптимального управления, гарантирующего точный перевод объекта в требуемое конечное состояние при любых значениях параметров из заданного интервала их возможных значений. Поэтому при наличии интервальной неопределенности на исходные данные задачи нельзя говорить о ее решении в том смысле, в котором оно понимается при точно известных параметрах, и следует пересмотреть сам подход к постановке задачи управления в целях определения в дальнейшем решения, обеспечивающего гарантированную точность перевода системы. В этой связи задачу управления в условиях интервальной неопределенности предлагается сформулировать как задачу определения множества управляющих воздействий, гарантирующих ее решение с заданной до интервала точностью, на множестве известных с точностью до интервала исходных данных. На примере задачи с неточно известным начальным состоянием показано, что если множество возможных начальных состояний объекта принадлежит n-мерному прямоугольному параллелепипеду, то при реализации на объекте управления, рассчитанного для любого начального состояния из заданного множества, множество конечных состояний является выпуклым и представляет собой n-мерный параллелепипед. Для его построения достаточно определить лишь координаты вершин, соответствующих вершинам выше определенного n-мерного прямоугольного параллелепипеда. Предложена система неравенств, определяющая условие принадлежности множества конечных состояний объекта, полученных при реализации управления при любом возможном значении начального состояния из заданного множества, требуемому множеству конечных состояний. На основе указанной системы неравенств сформулированы условия, позволяющие априори ответить на вопрос о разрешимости задачи.
The problem of optimal control of a linear dynamic object in conditions of incomplete information about the initial data is considered. The approaches based on various models of the uncertainty description are analyzed. It is shown that the use of the approach based on a probabilistic model for describing uncertainty is advisable when the uncertainty is associated only with randomness, the description of other sources of uncertainty within this model is rather difficult and the formal application of the regression analysis provides the results that are far from true. Though the fuzzy model is suitable for describing a wide range of the uncertainty sources, application of the model faces methodological difficulties when comparing and ranking fuzzy numbers and smoothing fuzzy data. In this regard, it seems promising to use an approach based on an interval model which allows description of a wide class of uncertain and inaccurate initial data. To unify control algorithms for the systems described by equations of state of different types with interval-given parameters, we developed an algorithm of equivalent transformations that provides the transition to special forms of representing the state matrix while maintaining preservation of all the dynamic properties of the original system. The problems of constructing the range of values of the roots of the matrix of the system and its description by an approximation in the form of an interval vector are solved to ensure the implementation of the algorithm. An approach is proposed to solve the problems of terminal control and maximum performance, when the uncertainty of the initial data is described by the interval model and the apparatus of interval analysis is used to solve the problem. It is shown that in this case with the direct use of the classical formulation of the optimal control problem without taking the uncertainty into account, there is no single optimal control which guarantees the exact transfer of the object to the required final state for any value of the parameters from a given range of their possible values. Therefore, in the presence of the interval uncertainty of the initial data, the solution of the problem can’t be obtained in the sense in which it is understood with precisely known parameters and the approach to the formulation of the control problem itself should be revised in order to determine in the future a solution that ensures guaranteed accuracy of the system translation. In this regard, we propose to formulate the control problem in conditions of the interval uncertainty as a problem of determining the set of control actions that guarantee the solution with the accuracy set up to the interval, on the set of initial data known up to the interval. Using an example of the problem with an inaccurately known initial state, it is shown that if the set of possible initial states of an object belongs to a n-dimensional rectangular parallelepiped, then when implementing a control on an object calculated for any initial state from a given set, the set of final states is convex and represents a n-dimensional parallelepiped. To construct the parallelepiped, it is sufficient to determine the coordinates of the vertices corresponding to the vertices of the abovementioned n-dimensional rectangular parallelepiped. We propose a system of inequalities which determines the condition for the membership of a set of finite states of the object obtained upon implementation of control for any possible value of the initial state from a given set to the required set of finite states. On the basis of this system of inequalities, conditions are formulated that provide a priori determination of the solvability of the problem.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.