zldmЗаводская лаборатория. Диагностика материаловIndustrial laboratory. Diagnostics of materials1028-68612588-0187ООО «Издательство «ТЕСТ-ЗЛ»10.26896/1028-6861-2023-89-10-34-39zldm-2034Research ArticleИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ И СВОЙСТВ. ФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И КОНТРОЛЯTESTING OF STRUCTURE AND PARAMETERS. PHYSICAL METHODS OF TESTING AND QUALITY CONTROLОпределение оптимальной формы постоянных магнитов заданного объема, при которой сила их магнитного сцепления максимальнаDetermination of the optimal shape of permanent magnets of a given volume providing maximum strength of their magnetic couplingПоляковО. П.PolyakovO. P.

Олег Петрович Поляков

Физический факультет МГУ

119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2; 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65

Oleg P. Polyakov

Faculty of Physics

1, str. 2, Leninskie gory, Moscow, 119991; 65, Profsoyuznaya ul., Moscow, 117997

o_polyakov@physics.msu.ruПоляковП. А.PolyakovP. A.

Петр Александрович Поляков 

Физический факультет МГУ

119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2

Petr A. Polyakov

Faculty of Physics

1, str. 2, Leninskie gory, Moscow, 119991

МГУ имени М. В. Ломоносова; Институт проблем управления имени В. А. Трапезникова РАНРоссияM. V. Lomonosov Moscow State University; V. A. Trapeznikov Institute of Control SciencesRussian FederationМГУ имени М. В. ЛомоносоваРоссияM. V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation20232510202389103439Copyright © Поляков О.П., Поляков П.А., 20232023Поляков О.П., Поляков П.А.Polyakov O.P., Polyakov P.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.zldm.ru/jour/article/view/2034

Пондеромоторная сила сцепления двух постоянных магнитов зависит от их формы. В работе представлены результаты определения оптимальной формы эллипсоидальных магнитов, при которой сила их магнитного сцепления максимальна. Анализировалось взаимодействие двух половинок магнита, представляющего собой эллипсоид вращения, и магнит в виде длинного стержня с эллиптическим поперечным сечением. Получены аналитические формулы для сил сцепления в этих случаях. Для фиксированной массы или объема магнитов решена задача оптимизации силы сцепления и найдена геометрическая форма, при которой сила сцепления будет максимальной. Показано, что в случае магнита в виде эллипсоида вращения максимальная сила сцепления его половинок (в пренебрежении магнитным натяжением на боковые поверхности) достигается при эксцентриситете 0,625958. Величина максимальной силы сцепления превышает силу сцепления половинок однородно намагниченного шарового магнита такого же объема на 1,7 %. При этом площадь сцепления эллипсоидального магнита будет меньше площади сцепления шарового магнита на 28 %. Найдена оптимальная форма стержневого магнита эллиптического сечения с максимальной силой сцепления его половинок при фиксированном объеме магнита. Получена формула для пондеромоторной магнитостатической силы взаимодействия половинок стержневого магнита с эллиптическим сечением и максимальной силой взаимодействия. Численные оценки для спеченного стержневого магнита NdFeB показали, что пондеромоторная сила взаимодействия при радиусе поперечного сечения 5 см может достигать 2 т на 1 м длины. Полученные результаты могут быть использованы при повышении эффективности устройств на постоянных магнитах.

The ponderomotive force of the adhesion of two permanent magnets depends on their shape. We present the results of determining the optimal shape of ellipsoidal magnets providing maximum magnetic adhesion between them. The interaction of two halves of a magnet, which is an ellipsoid of revolution, and a magnet in the form of a long rod with an elliptical cross section, is analyzed. Analytical formulas for the cohesion forces in these cases are obtained. For a fixed mass or volume of magnets, the problem of optimizing the adhesion force is solved and a geometric shape which provide the maximum adhesion force is determined. It is shown that in the case of a magnet in the form of an ellipsoid of revolution, the maximum adhesion force of its halves (ignoring the magnetic tension on the side surfaces) is achieved at an eccentricity of 0.625958. The magnitude of the maximum adhesion force exceeds the adhesion force of the halves of a uniformly magnetized spherical magnet of the same volume by 1.7%. In this case, the adhesion area of the ellipsoidal magnet will be less than the adhesion area of the spherical magnet by 28%. The optimal form of a bar magnet with an elliptical section with the maximum force of adhesion of its halves at a fixed volume of the magnet is determined. A formula is derived for the ponderomotive magnetostatic force of the interaction between the halves of a bar magnet with an elliptical section and the maximum force of interaction. Numerical estimates for a sintered NdFeB bar magnet showed that the ponderomotive force of interaction with a cross-sectional radius of 5 cm can reach 2 tons per 1 m of length. The results obtained can be used to improve the efficiency of devices based on permanent magnets.

постоянные магнитымагнитостатикапондеромоторные магнитные силымагнитная левитацияpermanent magnetsmagnetostaticsponderomotive magnetic forcesmagnetic levitationReferencesBiao Xiang, Zhikai Liu, Hongzhang Feng, Tong Wen. Force analysis and measurement of permanent magnet biased AMB and PMB in hybrid magnetically suspended flywheel / Measurement. 2023. Vol. 206. N 112336. P. 1 – 13. DOI: 10.1016/j.measurement.2022.112336Biao Xiang, Zhikai Liu, Hongzhang Feng, Tong Wen. Force analysis and measurement of permanent magnet biased AMB and PMB in hybrid magnetically suspended flywheel / Measurement. 2023. Vol. 206. N 112336. P. 1 – 13. DOI: 10.1016/j.measurement.2022.112336Suvorov V. A., Mohammad R. B., Sorokin P. A., et al. Mathematical model and experimental study of a magnet coupling with a stop / SN Applied Sciences. 2022. Vol. 4. Art. 286. DOI: 10.1007/s42452-022-05175-wSuvorov V. A., Mohammad R. B., Sorokin P. A., et al. Mathematical model and experimental study of a magnet coupling with a stop / SN Applied Sciences. 2022. Vol. 4. Art. 286. DOI: 10.1007/s42452-022-05175-wBerezney J. P., Valentine M. T. A compact rotary magnetic tweezers device for dynamic material analysis / Rev. Sci. Instrum. 2022. Vol. 93. N 093701. DOI: 10.1063/5.0090199Berezney J. P., Valentine M. T. A compact rotary magnetic tweezers device for dynamic material analysis / Rev. Sci. Instrum. 2022. Vol. 93. N 093701. DOI: 10.1063/5.0090199Yanxing Cheng, Jun Zheng, Huan Huang, Zigang Deng. A reconstructed three-dimensional HTS bulk electromagnetic model considering Jc spatial inhomogeneity and its implementation in a bulks’ combination system / Supercond. Sci. Tecnol. 2021. Vol. 34. N 125017. P. 1 – 15. DOI: 10.1088/1361-6668/ac336bYanxing Cheng, Jun Zheng, Huan Huang, Zigang Deng. A reconstructed three-dimensional HTS bulk electromagnetic model considering Jc spatial inhomogeneity and its implementation in a bulks’ combination system / Supercond. Sci. Tecnol. 2021. Vol. 34. N 125017. P. 1 – 15. DOI: 10.1088/1361-6668/ac336bМакаричев Ю. А., Иванников Ю. Н., Ратцев Я. А., Полянский Е. А. Комбинированный магнитный подвес / Вестник СГТУ. 2020. Т. 28. № 4. С. 142 – 154.Makarichev Yu. A., Ivannikov Yu. N., Rattsev Ya. A., Polyansky E. A. Combined magnetic suspension / Vestn. SGTU. 2020. Vol. 28. N 4. P. 142 – 154 [in Russian].Воронков В. С., Малкин С. А. Экономичный простейший магнитный подвес / Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 11. С. 135 – 139. DOI: 10.1134/S1063784211110284Voronkov V. S., Malkin S. A. Simple cost-efficient magnetic suspension / J. Tech. Phys. 2011. Vol. 56. P. 1675 – 1678. DOI: 10.1134/S1063784211110284Park Y.-S. Comparative Performance Evaluation of Wound Rotor Synchronous Motor and Interior Permanent Magnet Synchronous Motor with Experimental Verification / Adv. Electr. Computer Eng. 2022. Vol. 22. N 2. P. 37 – 44. DOI: 10.4316/AECE.2022.02005Park Y.-S. Comparative Performance Evaluation of Wound Rotor Synchronous Motor and Interior Permanent Magnet Synchronous Motor with Experimental Verification / Adv. Electr. Computer Eng. 2022. Vol. 22. N 2. P. 37 – 44. DOI: 10.4316/AECE.2022.02005Gandzha S. A., Sogrin A. I., Kiessh I. E. The Comparative Analysis of Permanent Magnet Electric Machines with Integer and Fractional Number of Slots per Pole and Phase / Procedia Eng. 2015. Vol. 129. P. 408 – 414. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.12.137Gandzha S. A., Sogrin A. I., Kiessh I. E. The Comparative Analysis of Permanent Magnet Electric Machines with Integer and Fractional Number of Slots per Pole and Phase / Procedia Eng. 2015. Vol. 129. P. 408 – 414. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.12.137Naoya Soda, Naoki Hayashi, Masato Enokizono. Analytical Study on Core Loss Reduction of Segmented Stator Core Motor in Consideration of Rolling Direction of Nonoriented Electrical Steel Sheet / IEEE Trans. Industry Appl. 2021. Vol. 57. N 5. P. 4745 – 4753. DOI: 10.1109/TIA.2021.3091947Naoya Soda, Naoki Hayashi, Masato Enokizono. Analytical Study on Core Loss Reduction of Segmented Stator Core Motor in Consideration of Rolling Direction of Nonoriented Electrical Steel Sheet / IEEE Trans. Industry Appl. 2021. Vol. 57. N 5. P. 4745 – 4753. DOI: 10.1109/TIA.2021.3091947Feng Y., Zheng J., Deng Z., et al. Double-layer quasi-Halbach guideway with NdFeB and ferrite materials for HTS Maglev / J. Alloys Compounds. 2022. Vol. 929. N 167342. P. 1 – 11. DOI: 10.1016/j.jallcom.2022.167342Feng Y., Zheng J., Deng Z., et al. Double-layer quasi-Halbach guideway with NdFeB and ferrite materials for HTS Maglev / J. Alloys Compounds. 2022. Vol. 929. N 167342. P. 1 – 11. DOI: 10.1016/j.jallcom.2022.167342Kumar D., Sisodiya M., Mandal D., Bajpai V. Maglev micro-EDM: Feasibility and performance on Inconel 625 / CIRP J. Manufact. Sci. Technol. 2023. Vol. 40. P. 155 – 166. DOI: 10.1016/j.cirpj.2022.11.012Kumar D., Sisodiya M., Mandal D., Bajpai V. Maglev micro-EDM: Feasibility and performance on Inconel 625 / CIRP J. Manufact. Sci. Technol. 2023. Vol. 40. P. 155 – 166. DOI: 10.1016/j.cirpj.2022.11.012Zheng J., Bao Y., Lei W., et al. Compound effect of adjacent HTS bulks’ anisotropy and inhomogeneity on maglev performances in an applied magnetic field / Mater. Today Comm. 2023. Vol. 34. N 105122. P. 1 – 7. DOI: 10.1016/j.mtcomm.2022.105122Zheng J., Bao Y., Lei W., et al. Compound effect of adjacent HTS bulks’ anisotropy and inhomogeneity on maglev performances in an applied magnetic field / Mater. Today Comm. 2023. Vol. 34. N 105122. P. 1 – 7. DOI: 10.1016/j.mtcomm.2022.105122Xu Y., Zhao Z., Yin S., et al. Real-Time Performance Optimization of Electromagnetic Levitation Systems and the Experimental Validation. / IEEE Trans. Industry Electr. 2023. Vol. 70. N 3. P. 3035 – 3044. DOI: 10.1109/TIE.2022.3167154Xu Y., Zhao Z., Yin S., et al. Real-Time Performance Optimization of Electromagnetic Levitation Systems and the Experimental Validation. / IEEE Trans. Industry Electr. 2023. Vol. 70. N 3. P. 3035 – 3044. DOI: 10.1109/TIE.2022.3167154Андреев Е. Н., Арсланова Д. Н., Ахметзянова Е. В. и др. Комбинированные электромагнитные подвесы с пониженным энергопотреблением для левитационного транспорта / Журнал технической физики. 2019. Т. 89. Вып. 7. С. 1123 – 1129. DOI: 10.21883/JTF.2019.07.47811.419-18Andreev E. N., Arslanova D. N., Akhmetzyanova E. V., et al. Combined Electromagnetic Suspensions with Reduced Energy Consumption for Levitation Vehicles / J. Tech. Phys. 2019. Vol. 64. P. 1060 – 1065. DOI: 10.1134/S1063784219070041Андреева Н. В., Филимонов А. В., Рудской А. И. и др. Исследование наноструктурированных магнитотвердых материалов системы Nd – Ho – Fe – Co — B методами атомно-силовой и магнитно-силовой микроскопии / Физика твердого тела. 2016. Т. 58. Вып. 9. С. 1798 – 1805. DOI: 10.1134/S1063783416090079Andreeva N. V., Filimonov A. V., Rudskoy A. I., et al. A study of nanostructure magnetosolid Nd – Ho – Fe – Co – B materials via atomic force microscopy and magnetic force microscopy / Phys. Solid State. 2016. Vol. 58. P. 1862 – 1869. DOI: 10.1134/S1063783416090079Костишин В. Г., Шакирзянов Р. И., Исаев И. М., Салогуб Д. В. Исследование радиопоглощающих характеристик полимерных композитов с ферритовыми наполнителями / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2022. Т. 88. № 6. С. 31 – 45. DOI: 10.26896/1028-6861-2022-88-6-31-45Kostishin V. G., Shakirzyanov R. I., Isaev I. M., Salogub D. V. Study of radar absorbing characteristics of polymer composites with ferrite fillers / Zavod. Lab. Diagn. Mater. 2022. Vol. 88. N 6. P. 31 – 45 [in Russian]. DOI: 10.26896/1028-6861-2022-88-6-31-45Костишин В. Г., Вергазов Р. М., Меньшова С. Б. и др. Влияние легирующих добавок на магнитную и диэлектрическую проницаемости ферритов-шпинелей / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2021. Т. 87. № 1. С. 31 – 45. DOI: 10.26896/1028-6861-2021-87-1-30-34Kostishin V. G., Vergazov R. M., Menshova S. B., et al. The effect of alloying additives on the magnetic permeability and permittivity of ferrite spinel / Zavod. Lab. Diagn. Mater. 2021. Vol. 87. N 1. P. 30 – 34 [in Russian]. DOI: 10.26896/1028-6861-2021-87-1-30-34Сандомирский С. Г. Исследование параметров частных петель магнитного гистерезиса сталей. / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2019. Т. 85. № 1. С. 35 – 43. DOI: 10.26896/1028-6861-2019-85-1-I-35-44Sandomirsky S. G. Physical methods of research and monitoring / Zavod. Lab. Diagn. Mater. 2019. Vol. 85. N 1(I). P. 35 – 44 [in Russian]. DOI: 10.26896/1028-6861-2019-85-1-I-35-44Поляков О. П., Поляков П. А. Постоянный магнит шаровой формы с неоднородным намагничиванием / Известия РАН. 2017. Т. 81. № 8. С. 1101 – 1103. DOI: 10.7868/S0367676517080166Polyakov O. P., Polyakov P. A. A permanent spherical magnet with inhomogeneous magnetization / Izv. RAN. 2017. Vol. 81. P. 993 – 995 [in Russian]. DOI: 10.3103/S1062873817080238Wu C., Li G., Wang D., Xu J. An efficient analytical model and experiments of 3D electromagnetic force of permanent magnet electrodynamic suspension system / J. Appl. Phys. 2022. Vol. 132. N 175001. P. 1 – 10. DOI: 10.1063/5.0123786Wu C., Li G., Wang D., Xu J. An efficient analytical model and experiments of 3D electromagnetic force of permanent magnet electrodynamic suspension system / J. Appl. Phys. 2022. Vol. 132. N 175001. P. 1 – 10. DOI: 10.1063/5.0123786Zhou D., Zhu L., Liu J., et al. Vertical Magnetic Field Distribution Characteristics of Triple-Peak Halbach Array PMG and Its Engineering Application in HTS Maglev Train / IEEE Trans. Appl. Superconduct. 2022. Vol. 32. N 9. P. 3602908. DOI: 10.1109/TASC.2022.3213995Zhou D., Zhu L., Liu J., et al. Vertical Magnetic Field Distribution Characteristics of Triple-Peak Halbach Array PMG and Its Engineering Application in HTS Maglev Train / IEEE Trans. Appl. Superconduct. 2022. Vol. 32. N 9. P. 3602908. DOI: 10.1109/TASC.2022.3213995Пятаков М. А., Акимов М. Л., Поляков П. А. Взаимодействие неоднородного постоянного магнита, состоящего из решетки магнитожестких полосок, с массивной ферромагнитной средой / Известия РАН. Серия физическая. 2021. Т. 85. № 11. С. 1568 – 1572. DOI: 10.31857/s0367676521110314Pyatakov M. A., Akimov M. L., Polyakov P. A. Interaction between an Inhomogeneous Permanent Magnet Consisting of a Lattice of Hard Magnetic Strips and a Massive Ferromagnetic Medium / Izv. RAN. 2021. Vol. 85. P. 1230 – 1234 [in Russian]. DOI: 10.3103/S1062873821110319Пятаков М. А., Поляков П. А., Русакова Н. Е. Изучение взаимодействия ферромагнетиков и расчет меры этого взаимодействия. / Известия РАН. Серия физическая. 2020. Т. 84. № 5. С. 719 – 722. DOI: 10.31857/S0367676520050282Pyatakov M. A., Polyakov P. A., Rusakova N. E. Study on Interaction between Ferromagnetics and Calculating the Degree of Interaction / Izv. RAN. 2020. Vol. 84. P. 593 – 595 [in Russian]. DOI: 10.3103/S106287382005024XЛандау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука. 1982. — 620 с.Landau L. D., Lifshits E. M. Theoretical physics. — Moscow: Nauka, 1982. — 620 p. [in Russian].Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М.: Физматлит, 2003. — 616 с.Tamm I. E. Fundamentals of the Theory of Electricity. — Moscow: Mir, 1979. — 684 p. [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.