Александр Иванович Орлов
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5
Alexander I. Orlov
5, 2-ya Baumanskaya ul., Moscow, 105005
Теория нечеткости — важная область современной теоретической и прикладной математики. Методология теории нечеткости — это учение об организации деятельности в области разработки и применения научных результатов этой теории. В работе рассмотрены некоторые методологические вопросы теории нечеткости, т.е. отдельные составляющие методологии в данной области. Теория нечеткости — наука о прагматических (размытых) числах и множествах. Древнегреческий философ Евбулид показал, что понятия «Куча» и «Лысый» нельзя описать с помощью натуральных чисел. Определять нечеткое множество с помощью функции принадлежности предложил Э. Борель. В 1965 г. Л. А. Заде дал основные определения алгебры нечетких множеств — ввел операции пересечения, произведения, объединения, суммы, отрицания нечетких множеств. Главное, он продемонстрировал возможности расширения («удвоения») математики. Другими словами, заменяя используемые в математике числа и множества на их нечеткие аналоги, получаем новые математические постановки. В статистике нечисловых данных развиты методы статистического анализа нечетких множеств. Часто используют конкретные виды функций принадлежности — интервальные и треугольные нечеткие числа. Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств. Мы мыслим нечетко и только поэтому понимаем друг друга. Парадокс теории нечеткости — нельзя последовательно реализовать тезис «все в мире нечетко». У обычных нечетких множеств аргумент и значения функции принадлежности являются четкими. Если их заменить на нечеткие аналоги, то для их описания понадобятся свои четкие аргументы и функции принадлежности, и так — до бесконечности. Системная нечеткая интервальная математика исходит из необходимости учета размытости исходных данных и предпосылок математической модели. Одним из вариантов ее практической реализации является автоматизированный системно-когнитивный анализ и интеллектуальная система «Эйдос».
The theory of fuzziness is an important area of modern theoretical and applied mathematics. The methodology of the theory of fuzziness is a doctrine of organizing activities in the field of development and application of the scientific results of this theory. We discuss some methodological issues of the theory of fuzziness, i.e., individual components of the methodology in the area under consideration. The theory of fuzziness is a science of pragmatic (fuzzy) numbers and sets. The ancient Greek philosopher Eubulides showed that the concepts «Heap» and «Bald» cannot be described using natural numbers. E. Borel proposed to define a fuzzy set using a membership function. A fundamentally important step was taken by L. A. Zadeh in 1965. He gave the basic definitions of the algebra of fuzzy sets and introduced the operations of intersection, product, union, sum, negation of fuzzy sets. The main thing he did was demonstration of the possibilities of expanding («doubling») mathematics: by replacing the numbers and sets used in mathematics with their fuzzy counterparts, we obtain new mathematical formulations. In the statistics of non-numerical data, methods of statistical analysis of fuzzy sets have been developed. Interval and triangular fuzzy numbers are often used specific types of membership functions. The theory of fuzzy sets in a certain sense is reduced to the theory of random sets. We think fuzzy and that is the only reason we understand each other. The paradox of the fuzzy theory is that it is impossible to consistently implement the thesis «Everything in the world is fuzzy». For ordinary fuzzy sets, the argument and values of the membership function are crisp. If they are replaced by fuzzy analogues, then their description will require their own clear arguments and membership functions, and so on ad infinitum. System fuzzy interval mathematics proceeds from the need to take into account the fuzziness of the initial data and the prerequisites of the mathematical model. One of the options for its practical implementation is an automated system-cognitive analysis and the intellectual system «Eidos».
The authors declare that there are no conflicts of interest present.