zldmЗаводская лаборатория. Диагностика материаловIndustrial laboratory. Diagnostics of materials1028-68612588-0187ООО «Издательство «ТЕСТ-ЗЛ»10.26896/1028-6861-2024-90-7-84-92zldm-2253Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯMATHEMATICAL METHODS OF INVESTIGATIONИнформация Фишера, содержащаяся в неполных наблюденияхFisher information contained in incomplete observationsАбдушукуровА. А.AbdushukurovA. A.

Абдурахим Ахмедович Абдушукуров 

100060, Ташкент, пр. Амира Тимура, д. 22

Abdurakhim A. Abdushukurov 

22, Amir Timur prosp., Tashkent, 100060

sabitbek@mail.ruНурмухамедоваН. С.NurmukhamedovaN. S.

Наргиза Сайдиллаевна Нурмухамедова 

100174, Ташкент, Университетская ул., д. 4

 

Nargiza S. Nurmukhamedova 

4, Universitetskaya ul., Tashkent, 100174, Uzbekistan

rasulova_nargiza@mail.ruЭрисбаевС.ErisbaevS. A.

Сабитбек Эрисбаев 

742012, Нукус, ул. Абдирова, д. 1

Sabitbek A. Erisbaev 

1, Abdirova ul., Nukus, 742012, Uzbekistan

sabitbek@mail.ruФилиал Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в городе ТашкентеРоссияTashkent Branch of the M. V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian FederationНациональный университет Узбекистана имени Мирзо УлугбекаРоссияMirzo Ulugbek National University of UzbekistanRussian FederationКаракалпакский государственный университет имени БердахаРоссияBerdakh Karakalpak State UniversityRussian Federation2024270720249078492Copyright © Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С., Эрисбаев С.A., 20242024Абдушукуров А.А., Нурмухамедова Н.С., Эрисбаев С.Abdushukurov A.A., Nurmukhamedova N.S., Erisbaev S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.zldm.ru/jour/article/view/2253

Точность статистических оценок для неизвестных параметров распределений зависит не только от объема выборочных данных, но и от способа их получения. Одним из основных требований к сбору экспериментальных данных является их информативность. Задачи математической статистики, особенно параметрического оценивания по цензурированным наблюдениям, обладают специфическими особенностями. Типичными представителями моделей неполных наблюдений на прямой являются модели случайного цензурирования, конкурирующих рисков (однократного, многократного) случайного цензурирования. В работе показано, что не всегда цензурирование приводит к потере информации (Фишера). Если цензурирование информативное, т.е. распределение цензурирующих случайных величин зависит от того же параметра, то можно указать такую модель, где информация из-за цензурирования может и сохраняться. Наоборот, если цензурирование не информативное, то потеря информации неизбежна. Работа носит обзорный характер, основное внимание уделено результатам авторов работы, приведены также данные из современных литературных источников. За критерий качества оценки принята эффективность по Крамеру – Рао, а за критерий информации о неизвестном параметре — информация Фишера.

The accuracy of statistical estimates of unknown distribution parameters depends not only on the bulk of sampling data but also on the method of data acquisition. The information content of experimental data is one of the basic requirements. Problems of mathematical statistics, in particular parametric estimation based on censored observations, have specific features. Typical representatives of models of incomplete observations on a straight line are models of random censoring, competing risks of (single, multiple) random censoring. The purpose of this study is to show that censoring does not always lead to loss of (Fisher) information. It is shown that if censoring is informative, i.e., the distribution of censoring random variables depends on the same parameter, it is possible to specify a model where information can be preserved due to censoring. On the contrary, if the censoring is not informative, then the loss of information is inevitable. The Cramer – Rao efficiency was taken as a criterion for the quality of the assessment, whereas the Fisher information was taken as the criterion for information about the unknown parameter.

информация Фишерасемейство распределенийинтенсивность отказовцензурированиеконкурирующие рискинеполные наблюденияFisher informationdistribution familyhazard ratecensorshipcompeting risksincomplete observationReferencesFisher R. A. Theory of Statistical Estimation / Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1925. P. 700 – 725.Fisher R. A. Theory of Statistical Estimation / Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1925. P. 700 – 725.Zacks Sh. The theory of statistical inference. — New York: Wiley, 1971.Zacks Sh. The theory of statistical inference. — New York: Wiley, 1971.Efron B., Zonstone I. M. Fisher Information in terms of the hazard rate / Ann. Statistics 1990. Vol. 18. N 1. P. 38 – 62.Efron B., Zonstone I. M. Fisher Information in terms of the hazard rate / Ann. Statistics 1990. Vol. 18. N 1. P. 38 – 62.Prakasa Rao B. L. S. On Cramer – Rao type integral inequalities / Calcutta Statistical Association Bulletin. 1991. Vol. 40. P. 183 – 205.Prakasa Rao B. L. S. On Cramer – Rao type integral inequalities / Calcutta Statistical Association Bulletin. 1991. Vol. 40. P. 183 – 205.Prakasa Rao B. L. S. Cramer – Rao type integral inequalities for functions of multidimensional parameter / Sankhya: Ser. A. 1992. Vol. 54. P. 53.Prakasa Rao B. L. S. Cramer – Rao type integral inequalities for functions of multidimensional parameter / Sankhya: Ser. A. 1992. Vol. 54. P. 53.Prakasa Rao B. L. S. Improved Cramer – Rao type integral inequalities or Bayesian Cramer – Rao lower-band / J. Indian Society for Probability and Statistics. 2018(a). Vol. 19. P. 1 – 7.Prakasa Rao B. L. S. Improved Cramer – Rao type integral inequalities or Bayesian Cramer – Rao lower-band / J. Indian Society for Probability and Statistics. 2018(a). Vol. 19. P. 1 – 7.Prakasa Rao B. L. S. Improved sequential Cramer – Rao type integral inequality / Sequential Analysis. 2018(b). Vol. 37. P. 59 – 68.Prakasa Rao B. L. S. Improved sequential Cramer – Rao type integral inequality / Sequential Analysis. 2018(b). Vol. 37. P. 59 – 68.Боровков А. А., Саханенко А. И. Об оценках для усредненного квадратичного риска / Probability and Mathematical Statistics. 1980. Vol. 1. N 2. P. 185 – 195.Borovkov A. A., Sakhanenko A. I. On estimates of the average quadratic risk / Probability and Mathematical Statistics. 1980. Vol. 1. N 2. P. 185 – 195.Abdushukurov A. A., Kim L. V. Lower Cramer – Rao and Bhattackarya bunds for randomly censored observation / J. Soviet. Math. 1987. Vol. 38. N 5. P. 2171 – 2185.Abdushukurov A. A., Kim L. V. Lower Cramer – Rao and Bhattackarya bunds for randomly censored observation / J. Soviet. Math. 1987. Vol. 38. N 5. P. 2171 – 2185.Prakasa Rao B. L. S. Remarks on Cramer – Rao type integral inequalities for random censored data / Analysis of censored data. 1995. Vol. 27. P. 163 – 175.Prakasa Rao B. L. S. Remarks on Cramer – Rao type integral inequalities for random censored data / Analysis of censored data. 1995. Vol. 27. P. 163 – 175.Zheng G., Gastwirth J. H. On the Fisher information in randomly censored data / Statistics Probability Letters. 2001. Vol. 52. P. 421 – 426.Zheng G., Gastwirth J. H. On the Fisher information in randomly censored data / Statistics Probability Letters. 2001. Vol. 52. P. 421 – 426.Zeng G., Gastwirth J. H. Fisher information in ordered randomly censored data with application to characterization problems / Statistica Sinica. 2003. Vol. 13. P. 507 – 5017.Zeng G., Gastwirth J. H. Fisher information in ordered randomly censored data with application to characterization problems / Statistica Sinica. 2003. Vol. 13. P. 507 – 5017.Prakasa Rao B. L. S. Improved Cramer – Rao inequality for randomly censored data / J. Iranian Statistical Society. 2018 (c). Vol. 17. P. 17 – 26.Prakasa Rao B. L. S. Improved Cramer – Rao inequality for randomly censored data / J. Iranian Statistical Society. 2018 (c). Vol. 17. P. 17 – 26.Prakasa Rao B. L. S. Cramer – Rao Inequality Revisited for Randomly Censored Data / Proceedings of Conf. «Statistics» and its applications 2019. Tashkent. P. 19 – 28.Prakasa Rao B. L. S. Cramer – Rao Inequality Revisited for Randomly Censored Data / Proceedings of Conf. «Statistics» and its applications 2019. Tashkent. P. 19 – 28.Abdushukurov A. A., Erisbaev S. A. Fisher information decomposition in terms of hazard rate functions under random censoring from the right / Electronic J. Science and education in Karakalpakstan. 2020. N 3 – 4. P. 36 – 43.Abdushukurov A. A., Erisbaev S. A. Fisher information decomposition in terms of hazard rate functions under random censoring from the right / Electronic J. Science and education in Karakalpakstan. 2020. N 3 – 4. P. 36 – 43.Абдушукуров А. А., Эрисбаев С. А. Информация Фишера и неравенство типа Крамера – Рао для модели конкурирующих рисков / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2022. Vol. 4. N 5. P. 50 – 59.Abdushukurov A. A., Erisbaev S. A. Fisher information and Cramer – Rao inequality for Competing Risks Model / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2022. Vol. 4. N 5. P. 50 – 59.Abdushukurov A. A., Erisbaev S. A. On Fisher information function in competing risks model under random censoring from unobservation intervals and efficiency / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2022. Vol. 5. N 3. P. 13 – 19.Abdushukurov A. A., Erisbaev S. A. On Fisher information function in competing risks model under random censoring from unobservation intervals and efficiency / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2022. Vol. 5. N 3. P. 13 – 19.Erisbaev S. A. Calculation of the Fisher information in Competing risks model in combined gibrid right random censoring / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2022. Vol. 5. N 6. P. 178 – 181.Erisbaev S. A. Calculation of the Fisher information in Competing risks model in combined gibrid right random censoring / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2022. Vol. 5. N 6. P. 178 – 181.Эрисбаев С. Полупараметрическое оценивание условной функции распределения в регрессионной модели Кокса при частично-информативном случайном цензурировании справа / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2023. Vol. 6. N. 3. P. 114 – 120.Erisbaev S. Semiparametric estimator of the conditional distribution function in the Cox regression model with partially informative random censoring on the right / Bulletin of the Institute of Mathematics. 2023. Vol. 6. N 3. P. 114 – 120.Walker S. C. A self-improvement to the Cauchy – Swartz inequality / Statist. Probab. Lett. 2017. Vol. 122. P. 86 – 90.Walker S. C. A self-improvement to the Cauchy – Swartz inequality / Statist. Probab. Lett. 2017. Vol. 122. P. 86 – 90.Zheng G., Balakrishnan N., Parks. Fisher information in ordered data: A review / Statistics and its Interface. 2009. Vol. 2. P. 101 – 113.Zheng G., Balakrishnan N., Parks. Fisher information in ordered data: A review / Statistics and its Interface. 2009. Vol. 2. P. 101 – 113.Dorn M. F. Evaluating Fisher Information in Order Statistics / A research paper. — University of Chicago, 2011. — 52 p.Dorn M. F. Evaluating Fisher Information in Order Statistics / A research paper. — University of Chicago, 2011. — 52 p.Нурмухамедова Н. С., Юсупов Ж. Р. Информация Фишера в моделях случайного цензурирования справа / Modern problems of applied mathematics and information technology AL-KHORASMY-2016. P. 222 – 226.Nurmukhamedova N. S., Yusupov J. R. Fisher information in models of right random censoring / Modern problems of applied mathematics and information technology AL-KHORASMY-2016. P. 222 – 226.Абдушукуров А. А., Нурмухамедова Н. С. Локальная асимптотическая нормальность статистических экспериментов и ее роль в теории оценивания и проверки гипотез / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2016. Т. 82. № 3. С. 74 – 79.Abdushukurov A. A., Nurmukhamedova N. S. Local asymptotic normality of statistical experiments and its role in estimation theory and hypothesis testing / Industr. lab. Mater. diagn. 2016. Vol. 82. N 3. P. 74 – 79.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.