Юрий Дмитриевич Григорьев
197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора А. Попова, д. 5
Yu. D. Grigoriev
5, ul. Professora A. Popova, St. Petersburg, 197376
Кинетика простых и сложных кинетических реакций, как правило, описывается экспоненциальными и рациональными моделями. К числу последних относится известная модель ферментативной кинетики Михаэлиса – Ментен. В работе представлены A-оптимальные планы для модели Михаэлиса – Ментен. Для их построения использован метод исключения, позволяющий разделить задачи определения узлов и весов и тем самым распространить указанный подход на другие критерии и модели рационального типа. Показано, что узлами A-оптимальных планов являются корни алгебраического уравнения 4-й степени с коэффициентами, зависящими от трех параметрических комплексов, один из которых хорошо известен специалистам в области ферментативной кинетики, а на двух других, возможно, акцентируем внимание впервые. Если узлы A-оптимального плана уже известны, то веса соответствующих узлов определяются аналитически по формуле Пукельсхайма. С помощью построенной в общем виде системы Штурма для полученного уравнения исследованы свойства его корней, а также свойства узлов A-оптимальных планов. Показано, что при определенных комбинациях значений параметров модели степень соответствующего алгебраического уравнения понижается до трех. Найдено разбиение множества значений параметров модели Михаэлиса – Ментен на два подмножества, для одного из которых A-оптимальный план определяется однозначно, а для другого требуется выбор оптимального узла из двух возможных вариантов. Для точек кривой, являющейся общей границей указанных подмножеств, степень найденного алгебраического уравнения равна трем, при этом искомый узел A-оптимального плана определяется однозначно. Для иллюстрации полученных результатов приведены соответствующие числовые примеры.
Kinetics of simple and complex kinetic reactions is usually described by exponential and rational models. The fractional rational models include the well-known Michaelis – Menten model of enzymatic kinetics. In the presented article A-optimal designs are proposed for the Michaelis – Menten model. The elimination method used to construct A-optimal designs, allowed us to determine the nodes and weights of A-optimal designs separately and thereby extend this approach to other criteria and models of the rational type. It is shown that the nodes of A-optimal designs determined by this method are the roots of the 4th degree algebraic equation with coefficients depending on the model parameters. If the nodes of the A-optimal design are already known, then the weights of the corresponding nodes are determined analytically by the Pukelsheim formula. The properties of the roots as well as the properties of the nodes of A-optimal designs were studied using the Sturm system constructed in the general form for the resulting equation. It is shown that with a certain combination of parameters of the Michaelis – Menten model, the degree of the resulting algebraic equation is reduced to three. A partition of the set of values of the parameters of the Michaelis – Menten model into two subsets has been found. In one of them, the A-optimal design is determined uniquely, whereas for the other one it is necessary to select the optimal node from two possible options. It is revealed that the degree of the algebraic equation is equal to three for points belonging to the curve which is the common boundary of the indicated subsets. Corresponding numerical examples are given to illustrate the results obtained.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.