Александр Иванович Орлов
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1
Alexander I. Orlov
5, 2-ya Baumanskaya ul., Moscow, 105005
Постановки задач статистического анализа данных, имеющих гамма-распределение, относятся к классической математической статистике. Однако не все они были решены в рамках параметрической статистики. Необходимо заполнить лакуны (как, например, и в случае бета-распределения), поскольку в настоящее время гамма-распределение широко используется в теоретических и прикладных работах. Примером является ГОСТ 11.011–83 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения». Стандартное гамма-распределение определяется параметром формы. При переходе к масштабно-сдвиговому семейству добавляются параметры масштаба и сдвига. Рассмотрены семь постановок задач оценивания параметров, поскольку каждый из трех параметров может быть как неизвестным, так и известным. Для каждой из постановок найдены оценки метода моментов и их асимптотические дисперсии. При известном параметре сдвига получены оценки максимального правдоподобия. Одношаговые оценки, асимптотически эквивалентные оценкам максимального правдоподобия, используем при неизвестном параметре сдвига. Наличие погрешностей измерения отражается на точности оценок параметров при применении тех или иных алгоритмов расчетов. В ГОСТ 11.011–83 на основе модели интервальных данных даны правила выбора метода оценивания при неизвестных параметрах формы и масштаба и известном параметре сдвига. При разработке ГОСТ 11.011–83 выявлены проблемы, для решения которых предложены новые с научной точки зрения методы. Новые научные результаты, полученные в ходе решения практической задачи (разработки ГОСТ 11.011–83), привели к созданию новых научных направлений. Речь идет о статистике интервальных данных, а также об одношаговых оценках. К настоящему времени статистика интервальных данных как раздел математической статистики достаточно развита и охватывает все основные области статистических методов. Она является важной составной частью системной нечеткой интервальной математики.
Statements of problems of statistical analysis of data with a gamma distribution are related to classical mathematical statistics. Oddly enough, not all alone were solved within the framework of parametric statistics, which was at the forefront of the development of statistical science in the first third of the 20th century. As with the beta distribution, gaps need to be filled. This is necessary because the gamma distribution is currently widely used in theoretical and applied work. An example is GOST 11.011–83 «Applied statistics. Rules for determining estimates and confidence limits for gamma distribution parameters». The standard gamma distribution is determined by the shape parameter. When switching to a scale-shift family, scale and translation parameters are added. Seven formulations of parameter estimation problems are considered, since each of the three parameters can be either unknown or known. For each of the formulations, the estimates of the method of moments and their asymptotic variances are found. For a known shift parameter, maximum likelihood estimates are obtained. One-step estimates, asymptotically equivalent to maximum likelihood estimates, are used for an unknown shift parameter. The presence of measurement errors affects the accuracy of parameter estimates when applying certain calculation algorithms. In GOST 11.011–83, based on the interval data model, rules are given for choosing an estimation method for unknown shape and scale parameters and a known shift parameter. During the development of GOST 11.011–83, problems were identified, for the solution of which new methods from a scientific point of view were proposed. Further development of new scientific results obtained in the course of solving a practical problem (development of GOST 11.011–83) led to the creation of new scientific directions. We are talking about the statistics of interval data, as well as one-step estimates. To date, the statistics of interval data as a branch of mathematical statistics is quite developed and covers all the main areas of statistical methods. It is an important part of systemic fuzzy interval mathematics.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.