zldmЗаводская лаборатория. Диагностика материаловIndustrial laboratory. Diagnostics of materials1028-68612588-0187ООО «Издательство «ТЕСТ-ЗЛ»10.26896/1028-6861-2018-84-7-76-82zldm-775Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯMATHEMATICAL METHODS OF INVESTIGATIONСкалярная мера взаимозависимости между случайными векторамиScalar measure of the interdependence between random vectorsТырсинА. Н.TyrsinA. N.

Александр Николаевич Тырсин 

г. Екатеринбург

 

Alexander N. Tyrsin 

Yekaterinburg

at2001@yandex.ruУральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. ЕльцинаРоссияFirst President of Russia B. N. Yeltsin Ural Federal UniversityRussian Federation2018080820188477682Copyright © Тырсин А.Н., 20182018Тырсин А.Н.Tyrsin A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.zldm.ru/jour/article/view/775

Рассмотрена проблема оценивания тесноты взаимозависимости между случайными векторами разной размерности. Эти случайные векторы могут иметь произвольные многомерные непрерывные законы распределения. Получено аналитическое выражение для коэффициента тесноты взаимозависимости между случайными векторами. Он выражается через коэффициенты детерминации условных регрессий между компонентами случайных векторов. Для случая гауссовских случайных векторов получена более простая формула, выраженная через определители каждого из случайных векторов и определитель их объединения. Показано, что введенный коэффициент соответствует всем основным требованиям, предъявляемым к мере тесноты взаимозависимости между случайными векторами. Данный подход имеет преимущества по сравнению с методом канонических корреляций. Он позволяет определить фактическую тесноту взаимозависимости между случайными векторами. Кроме того, он может использоваться и при нелинейных корреляционных зависимостях между компонентами случайных векторов. Введенная мера достаточно просто интерпретируема и может практически применяться на реальных выборках данных. Приведены примеры расчета тесноты взаимозависимости между гауссовскими случайными векторами разной размерности.

The problem of assessing tightness of the interdependence between random vectors of different dimensionality is considered. These random vectors can obey arbitrary multidimensional continuous distribution laws. An analytical expression is derived for the coefficient of tightness of the interdependence between random vectors. It is expressed in terms of the coefficients of determination of conditional regressions between the components of random vectors. For the case of Gaussian random vectors, a simpler formula is obtained, expressed through the determinants of each of the random vectors and determinant of their association. It is shown that the introduced coefficient meets all the basic requirements imposed on the degree of tightness of the interdependence between random vectors. This approach is more preferable compared to the method of canonical correlations providing determination of the actual tightness of the interdependence between random vectors. Moreover, it can also be used in case of non-linear correlation dependence between the components of random vectors. The measure thus introduced is rather simply interpretable and can be applied in practice to real data samplings. Examples of calculating the tightness of the interdependence between Gaussian random vectors of different dimensionality are given.

случайный векторвзаимозависимостьмерадифференциальная энтропияиндекс детерминациикорреляционная матрицаrandom vectorinterdependencemeasuredifferential entropyindex of determinationcorrelation matrixReferencesЭсбенсен К. Анализ многомерных данных. Избранные главы / Пер. с англ. — Черноголовка: Изд-во ИПХФ РАН, 2005. — 160 с.Esbensen K. H. Multivariate Data Analysis — In Practice. 5th Edition. — Oslo: CAMO Process AS, 2002.Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910 с.Probability and mathematical statistics: Encyclopedia. — Moscow: Bol’shaya Rossiiskaya Éntsiklopediya, 1999. — 910 p. [in Russian].Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.Orlov A. I. Applied statistics. — Moscow: Ékzamen, 2006. — 671 p. [in Russian].Тюрин Ю. Н. Многомерная статистика: гауссовские линейные модели. — М.: Издательство Московского университета, 2011. — 136 с.Tyurin Yu. N. Multidimensional statistics: Gaussian linear models. — Moscow: Izd. MGU, 2011. — 136 p. [in Russian].Pena D., Rodriguez J. Descriptive Measures of Multivariate Scatter and Linear Dependence / Journal of Multivariate Analysis. 2003. Vol. 85. Issue 2. P. 361 – 374. DOI: 10.1016/S0047-259X(02)00061-1.Pena D., Rodriguez J. Descriptive Measures of Multivariate Scatter and Linear Dependence / Journal of Multivariate Analysis. 2003. Vol. 85. Issue 2. P. 361 – 374. DOI: 10.1016/S0047-259X(02)00061-1.Pena D., Van der Linde A. Dimensionless Measures of Variability and Dependence for Multivariate Continuous Distributions / Communications in Statistics: Theory and Methods. 2007. Vol. 36. Issue 10. P. 1845 – 1854. DOI: 10.1080/03610920601126449.Pena D., Van der Linde A. Dimensionless Measures of Variability and Dependence for Multivariate Continuous Distributions / Communications in Statistics: Theory and Methods. 2007. Vol. 36. Issue 10. P. 1845 – 1854. DOI: 10.1080/03610920601126449.Тырсин А. Н. Мера совместной корреляционной зависимости многомерных случайных величин / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2014. Т. 80. № 1. С. 76 – 80.Tyrsin A. N. Measure of joint correlation dependence of multidimensional random variables / Zavod. Lab. Diagn. Mater. 2014. Vol. 80. N 1. P. 76 – 80 [in Russian].Тырсин А. Н. Энтропийное моделирование многомерных стохастических систем. — Воронеж: Научная книга, 2016. — 156 с. https://elibrary.ru/download/elibrary_25475510_ 92447945.pdf.Tyrsin A. N. Entropy modeling of multidimensional stochastic systems. — Voronezh: Nauchnaya kniga, 2016. — 156 p. [in Russian].Тырсин А. Н., Соколова И. С. Энтропийно-вероятностное моделирование гауссовских стохастических систем / Математическое моделирование. 2012. Т. 24. № 1. С. 88 – 102. http:// www.mathnet.ru/links/f5cf79ca6d17de8bb14a28fdad137d6a/ mm3199.pdf.Tyrsin A. N., Sokolova I. S. Entropy-probabilistic modeling of Gaussian stochastic systems / Matem. Modelir. 2012. Vol. 24. N 1. P. 88 – 102 [in Russian].Биргер И. А. Техническая диагностика. — М.: Машиностроение, 1978. — 240 с.Birger I. A. Technical diagnostics. — Moscow: Mashinostroenie, 1978. — 240 p. [in Russian].Сошникова Л. А., Тамашевич В. Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. — 598 с.Soshnikova L. A., Tamashevich V. N., Uebe G., Shefer M. Multidimensional statistical analysis in Economics. — Moscow: YuNITI-DANA, 1999. — 598 p. [in Russian].Manly B. F. J., Navarro A. J. A. Multivariate Statistical Methods. A Primer. 4th ed. — CRC Press, 2017. — 255 p.Manly B. F. J., Navarro A. J. A. Multivariate Statistical Methods. A Primer. 4th ed. — CRC Press, 2017. — 255 p.Елисеева И. И., Курышева С. В., Коростелева Т. В. и др. Эконометрика. Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 576 с.Eliseeva I. I., Kurysheva S. V., Korosteleva T. V., et al. Econometrics. 2nd Edition. — Moscow: Finansy i statistika, 2007. — 576 p. [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.