О методах проверки однородности двух независимых выборок

Методы проверки однородности двух независимых выборок — классическая область математической статистики. За более чем 111 лет с момента публикации основополагающей статьи Стьюдента разработаны различные критерии проверки статистической гипотезы однородности в различных постановках, изучены их свойства. Настала потребность в упорядочении совокупности найденных научных результатов. Необходим анализ всего многообразия постановок задач проверки статистических гипотез однородности двух независимых выборок, а также соответствующих статистических критериев. Такому анализу посвящена настоящая статья. В ней сведены основные результаты, касающиеся методов проверки однородности двух независимых выборок, и проведено их сравнительное изучение, позволяющее системно анализировать многообразие таких методов в целях выбора наиболее адекватного для обработки конкретных данных. На основе базовой вероятностно-статистической модели сформулированы основные постановки задачи проверки однородности двух независимых выборок. Приведен сравнительный анализ критериев Стьюдента и Крамера – Уэлча, предназначенных для проверки однородности математических ожиданий, обоснована рекомендация по широкому применению критерия Крамера – Уэлча. Из непараметрических методов проверки однородности рассмотрены критерии Вилкоксона, Смирнова, Лемана – Розенблатта. Разобраны два мифа о критерии Вилкоксона. На основе анализа публикаций основоположников показана некорректность термина «критерий Колмогорова – Смирнова». Для проверки абсолютной однородности, т.е. совпадения функций распределения выборок, рекомендовано использовать критерий Лемана – Розенблатта. Рассмотрены актуальные проблемы разработки и применения непараметрических критериев, в том числе различие номинальных и реальных уровней значимости, затрудняющее сравнение критериев по мощности, отмечена необходимость учета совпадений выборочных значений (с точки зрения классической теории математической статистики вероятность совпадений равна 0).

1. Student. The probable error of a mean / Biometrika. 1908. N 6(1). P. 1 – 25.

2. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с.

3. Орлов А. И. Распределения реальных статистических данных не являются нормальными / Научный журнал КубГАУ. 2016. № 117. С. 71 – 90.

4. Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.

5. Орлов А. И. Проверка статистической гипотезы однородности математических ожиданий двух независимых выборок: критерий Крамера – Уэлча вместо критерия Стьюдента / Научный журнал КубГАУ. 2015. № 110. С. 197 – 218.

6. Боровков А. А. Математическая статистика. Изд. 4-е. — М.: Лань, 2010. — 704 с.

7. Крамер Г. Математические методы статистики. Изд. 3-е стереотипн. — М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. — 648 с.

8. Орлов А. И. О применении статистических методов в медико-биологических исследованиях / Вестник Академии медицинских наук СССР. 1987. № 2. С. 88 – 94.

9. Орлов А. И. Реальные и номинальные уровни значимости при проверке статистических гипотез / Научный журнал КубГАУ. 2015. № 114. С. 42 – 54.

10. Орлов А. И. Метод статистических испытаний в прикладной статистике / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2019. Т. 85. № 5. С. 67 – 79.

11. Орлов А. И. Современное состояние непараметрической статистики / Научный журнал КубГАУ. 2015. № 106. С. 239 – 269.

12. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев / Пер. с англ. — М.: Наука, 1971. — 376 с.

13. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. — М.: Финансы и статистика, 1983. — 518 с.

14. Орлов А. И. Двухвыборочный критерий Вилкоксона — анализ двух мифов / Научный журнал КубГАУ. 2014. № 104. С. 91 – 111.

15. Орлов А. И. Состоятельные критерии проверки абсолютной однородности независимых выборок / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2012. Т. 78. № 11. С. 66 – 70.

16. Методика. Проверка однородности двух выборок параметров продукции при оценке ее технического уровня и качества / Орлов А. И., Миронова Н. Г., Фомин В. Н., Черномордик О. М. — М.: ВНИИСтандартизации, 1987. — 116 с.

17. Орлов А. И. Непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, омега-квадрат и ошибки при их применении / Научный журнал КубГАУ. 2014. № 97. С. 32 – 45.

18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977. — 353 с.

19. Орлов А. И. Предельная теория непараметрических статистик / Научный журнал КубГАУ. 2014. № 100. С. 31 – 52.

20. Орлов А. И. Модель анализа совпадений при расчете непараметрических ранговых статистик / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2017. Т. 83. № 11. С. 66 – 72.

21. Орлов А. И. О проверке однородности связанных выборок / Научный журнал КубГАУ. 2016. № 123. С. 708 – 726.