Q-оптимальные и близкие к ним планы эксперимента для полиномиальной регрессии на отрезке

Рассмотрена задача построения Q-оптимальных планов эксперимента для полиномиальной регрессии на отрезке [–1, 1]. Показано, что известные планы Малютова – Федорова, использующие спектр D-оптимальных планов (спектр Лежандра), Q-оптимальными не являются. Этот вывод является непосредственным следствием замечания Шабадоса к гипотезе Эрдеша, опровергающим ее. Сама гипотеза Эрдеша заключалась в том, что спектр насыщенных D-оптимальных планов для полиномиальной регрессии на отрезке одновременно является и спектром насыщенных Q-оптимальных планов. Приведен насыщенный точный Q-оптимальный план для полиномиальной регрессии степени s = 3, подтверждающий замечание Шабадоса. Далее это утверждение переносится на непрерывные планы. Для случаев s = 3, 4 показано, что известная теорема Малютова – Федорова о непрерывных Q-оптимальных планах также неверна, хотя и остается справедливой для степеней s = 1, 2. Исследованы планы Малютова – Федорова со спектром Лежандра с точки зрения их близости к Q-оптимальным. На примерах показано, что они достаточно близки для малых степеней s полиномиальной регрессии. Найдено универсальное выражение для Q-оптимального распределения весов p_i опорных точек x_i в случае произвольного спектра. В качестве примера с помощью полученного выражения проведено табулирование распределения весов для планов Малютова – Федорова для s = 3, ..., 6. Отмечена общность полученного выражения для Q-оптимальных весов с A-оптимальным распределением весов (распределение Пукельсхайма) при той же постановке задачи. В заключение дана краткая рекомендация о численном построении Q-оптимальных планов. Отмечено, что помимо традиционных численных методов в данном случае могут быть использованы программные системы символьных вычислений, использующие методы результантов и исключения. Приводимые в статье примеры Q-оптимальных планов построены с использованием именно этих методов.

1. Guchenko R., Melas V. B. Efficient computation of Bayesian optimal discriminating designs / J. Comput. and Graphic. Statist. 2017. Vol. 24. N 2. P. 424 – 433.

2. Melas V. B., Shpilev P. T-optimal discriminating designs for Fourier regression models / Comput. Statis. and Data Analysis. 2017. Vol. 113. P. 196 – 206.

3. Guchenko R., Melas V. B., Wong W. K. Optimal discrimination designs for semi-parametric models / Biometrika. 2018. Vol. 105. N 1. P. 185 – 197.

4. Ермаков С. М., Семенчиков Д. Н. О методах оптимизации в задачах планирования эксперимента / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2019. Т. 85. № 1. Ч. 1. С. 72 – 77.

5. Григорьев Ю. Д., Мелас В. Б., Шпилев П. В. Избыточность локально D-оптимальных планов и гомотетии / Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). № 4. С. 552 – 562.

6. Grigoriev Yu. D., Melas V. B., Shpilev P. V. Excess of locally D-optimal designs for Cobb-Douglas model / Statistical Papers. 2018. Vol. 59. N 4. P. 1425 – 1439.

7. Fedorov V. V., Malytov M. B. On the designs for certains weighted polynomial regression minimizing the average variance. Preprint. N 8, LSR. — Moscow: State University Press, 1969. — 12 p.

8. Малютов М. Б., Федоров В. В. О планах взвешенной полиномиальной средней регрессии / Теория вероят. и примен. 1971. Т. 16. № 4. С. 734 – 738.

9. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1971. — 312 с.

10. Szabados J. On a problem of P. Erdos / Acta Math. Hungar. 1966. Vol. 17. P. 155 – 157.

11. Erdos P. Problems and results on the theory of interpolation. II / Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1961. Vol. 12. P. 235 – 244.

12. Bandemer H., Bellman A., Jung W., Richter K. Optimale Versuchsplanung. Bd. 131. — Berlin: Akademie-Verlag GmbH, Wissenschaftliche Taschenbücher, 1973. — 180 s.

13. Imhof L. Optimum exact designs for polynomial regression. Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften, Der Reinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen, 1997. — 40 p.

14. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. — М.: Наука, 1976. — 568 с.

15. Fejer L. Bestimmung derjenigen Abszissen eines Intervalles, für welche die Quadratsumme der Grundfunktionen der Lagrangeschen Interpolation im Intervalle ein möglichst kleines Maximum besitzt / Ann. Scuola Norm. Sup. 1932. Pisa Ser. II. N 1. P. 263 – 276.

16. Григорьев Ю. Д. Методы оптимального планирования эксперимента: линейные модели. — СПб.: Лань, 2015. — 320 с.

17. Pukelsheim F. Optimal design of experiments. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006. — 454 p.

18. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов. — В кн.: Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. — М.: Мир, 1986. С. 331 – 372.

19. Калинина Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. — СПб: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. — 72 с.

20. Bikker P., Uteshev A. Yu. On the Bezout construction of the resultant / J. Symbolic Computation. 1999. Vol. 28. N 1. P. 45 – 88.