Асимптотические задачи последовательного интервального и точечного оценивания

Точность систем интервальных оценок измеряется обычно при помощи длин интервалов при заданных вероятностях накрытия. Доверительные интервалы являются интервалами фиксированной ширины, если длина интервала детерминирована, т.е. не случайна, и стремится к нулю при заданной вероятности накрытия. Работа посвящена двум важным направлениям статистического анализа — последовательному интервальному оцениванию доверительными интервалами фиксированной ширины и последовательному точечному оцениванию с асимптотически минимальным риском. На примере двух простых статистических моделей изложены основные асимптотические задачи последовательного интервального оценивания доверительными интервалами фиксированной ширины и точечного оценивания. Проведен обзор данных по непараметрическому последовательному оцениванию и изложены новые результаты, полученные авторами в этом направлении. Последовательный анализ характеризуется тем, что момент прекращения наблюдений (момент остановки) является случайным и определяется в зависимости от значений наблюдаемых данных и от принятой меры оптимальности построенной статистической оценки. Поэтому для решения асимптотических задач последовательного оценивания использованы методы суммирования случайных величин. Для доказательства асимптотической состоятельности доверительных интервалов фиксированной ширины использован метод, основанный на применении предельных теорем для случайно остановленных случайных процессов. Получены общие условия состоятельности и эффективности последовательного интервального оценивания широкого класса функционалов от неизвестной функции распределения и эти условия проверены при последовательном интервальном оценивании неизвестной плотности вероятности асимптотически некоррелированного и линейного процессов. Приведены условия регулярности, обеспечивающие свойство быть оценкой с асимптотически минимальным риском для достаточно широких классов оценок и функций потерь, и эти условия проверены при последовательном точечном оценивании неизвестной функции распределения.

1. Dantzig G. B. On the nonexistence of tests of «student’s» hypethesis having power functions independent of σ2 / Ann. Math. Statist. 1940. N 11. P. 186 – 192.

2. Lehmann E. L. Notes on the theory of estimation. — Berkeley: Univ. of Calif. Press, 1951.

3. Chow Y. S., Robbins H. On the asymptotic theory of fixed-width sequential confidence intervals for the mean / Ann. Math. Statist. 1965. N 36. P. 457 – 462.

4. Anscombe F. J. Large sample theory of sequential estimation / Proc. Cambridge Philos. Soc. 1952. N 48. P. 600 – 607.

5. Ghosh M., Mukhopadhyay N., Sen P. K. Sequential estimation. — New York: Wiley, 1996.

6. Silvestrov D. S. Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes. — London: Springer-Verlag, 2004.

7. Shiohama T., Tanagushi M. Sequential estimation for a functional of the spectral density of a Gaussian stationary process / Ann. Inst. Statist. Math. 2001. Vol. 53. N 1. P. 142 – 158.

8. Mukhopadhyay N., De Silva B. M. Sequential methods and their applications. — London: Chapman and Hall, 2009.

9. Rakhimova G. G. Application of limit theorems for superposition of random functions to sequential estimation: In the book: Silvestrov S., Rancic M., Malyarenko A. (eds.) Stochastic Processes and Applications / Proceedings in Mathematics & Statistics. Springer, 2018. Chapter 7. P. 148 – 154.

10. Abdushukurov A. A., Rakhimova G. G. Asymptotic properties of sequential interval estimation of functionals of a distribution function / Statistical Methods of Estimating and Hypotheses Testing. Collection of Scientific Papers. 2018. Vol. 28. P. 4 – 14 [in Russian].

11. Rakhimova G. G. Asymptotic problems of sequential point estimation of functionals of an unknown distribution function / Proceedings of the Republican Scientific and Practical Conference «Statistics and its Applications», Tashkent, 2019. P. 232 – 238 [in Russian].

12. Takahata H. Limiting behavior of density estimates for stationary asymptotically uncorrelated processes / Bull. Tokyo Gak. Univ. Ser. VI. 1977. Vol. 29. P. 1 – 9.

13. Takahata H. On recursive density estimators for a class of stationary processes / Bull. Tokyo Gak. Univ. Ser. VI. 1977. Vol. 29. P. 10 – 18.

14. Tursunov G. T. Interval estimation of the probability density of an asymptotically uncorrelated process / Theor. Probability Math. Statist. 1984. N 29. P. 141 – 147.

15. Chanda K. C. Density estimation for linear processes / Ann. Inst. Statist. Math. 1983. Vol. 35. Part A. P. 439 – 446.

16. Mirzakhmedov M. A., Tursunov G. T. The sequential interval estimating of linear random processes / Sixth Int. Vilnius conference on probability theory and math. statist. Abstracts of comm. — Vilnius, 1993. P. 35 – 36.