Планирование эксперимента и обработка данных в дальномерной задаче определения места

В терминах планирования эксперимента на примере дальномерной задачи по определению места объекта рассмотрена задача оптимизации конфигурации навигационной измерительной системы. Показано, что данная задача эквивалентна задаче A-оптимального планирования для функции регрессии, нелинейной по параметрам, которая сводится к тригонометрической модели. В явном виде выписаны функция отклика, информация Фишера и коэффициент чувствительности навигационной системы в случае двух и трех маяков, а также коррелированности измерений. С помощью теоремы эквивалентности для A-критерия для плоской дальномерной задачи подтвержден результат Барабановых, что матрицами A-оптимальных планов являются матрицы Колмогорова – Мальцева. Аналогичный результат в рассматриваемом случае имеет место и для критерия D-оптимальности. Рассмотрено влияние корреляции измерений в дальномерной задаче с двумя и тремя ориентирами. В этом случае найдены формулы для коэффициентов чувствительности, выраженные через пеленги на ориентиры и углы засечки объекта. Наряду с задачей оптимизации конфигурации сети рассмотрена задача обработки данных в плоской дальномерной задаче с двумя ориентирами. Место объекта определено двумя способами — с помощью метода результантов и геометрическим способом. В первом способе решение дальномерной задачи сводится к рассмотрению двух независимых квадратных уравнений для определения первой и второй координат места объекта. Выражения данных уравнений получены в явном виде. Второй способ также приводит к двум квадратным уравнениям. Он представляет собой вариант метода исключений и дает в явном виде условия, при которых рассматриваемая задача определения места разрешима. Рассмотрены примеры, подтверждающие изложенные выводы.

1. Григорьев Ю. Д. Методы оптимального планирования эксперимента: линейные модели. — СПб.: Лань, 2015. — 320 с.

2. Макаричев Ю. А., Иванников Ю. Н. Методы планирования эксперимента и обработки данных; учебное пособие. — Самара: Самар. Гос. техн. ун-т, 2016. — 132 с.

3. Кондрашихин В. Т. Определение места судна. — М.: Транспорт, 1981. — 206 с.

4. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдения. — М.: Физматгиз, 1962. — 350 с.

5. Лесков М. М., Баранов Ю. К., Гавлюк М. И. Навигация. — М.: Транспорт, 1980. — 340 с.

6. Покровский О. М., Кароль С. И. Об оптимальном отборе станций для климатического мониторинга приземной температуры в Северном полушарии / Метеорология и гидрология. 1988. Вып. 9. С. 60 – 71.

7. Бримкулов У. Н., Круг Г. К., Саванов В. Л. Рационализация измерительной сети по критерию точности математического описания поля норм / Метеорология и гидрология. 1978. № 7. С. 25 – 34.

8. Бурмин В. Ю. Задача планирования эксперимента и обусловленность системы линейных алгебраических уравнений / Техническая кибернетика. 1976. Вып. 2. С. 195 – 200.

9. Омельченко О. К., Гусяков В. К. Планирование сети сейсмических станций для службы предупреждения цунами / Вулканология и сейсмология. 1996. Т. 18. Вып. 2. С. 68 – 85.

10. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Математические задачи дальномерной навигации. — М.: Физматлит, 2007. — 272 с.

11. Барабанова Л. П. О коэффициенте чувствительности спутниковой навигационной системы / Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. Вып. 2. С. 144 – 151.

12. Григорьев Ю. Д., Митягин С. А. Точность и надежность навигации при определении местоположения судна в условиях коррелированных измерений / Журнал университета водных коммуникаций. 2011. Т. 3. Вып. 3(11). С. 136 – 140.

13. Новоселов А. А. Математическое моделирование финансовых рисков. Теория измерения. — Новосибирск: Наука, 2001. — 102 с.

14. Grigoriev Yu. D. Actuarial risk theory: becoming in Russia, main problems, and development of concepts. — In book: Applied Methods of Statistical Analysis. Statistical Computation and Simulation / Proceedings of the International Workshop AMSA’2019. — Novosibirsk: NSTU publisher, 2019. P. 11 – 29.

15. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1971. — 312 с.

16. Dette H., Kiss C. Optimal Designs for Rational Regression Models / J. Statist. Theor. Practic. 2015. Vol. 9. N 2. P. 376 – 394.

17. Dette H., Pepelyshev A. Optimal Designs in Regression with correlated Error / Annals of Statistics. Vol. 44. N 1. P. 113 – 152.

18. Григорьев Ю. Д. Q-оптимальные и близкие к ним планы эксперимента для полиномиальной регрессии на отрезке / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2020. Т. 86. № 5. С. 65 – 72. DOI: 10.26896/1028-6861-2020-86-5-65-72

19. Dette H., Melas V., Shpilev P. Some Explicit Solutions of c-Optimal Design Problems for Polynomial Regression with no Intercept / Ann. Inst. Statist. Math. 2019. Vol. 71. N 4 (November). P. 1 – 22.

20. Григорьев Ю. Д., Мелас В. Б., Шпилев П. В. Избыточность локально D-оптимальных планов и гомотетии / Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 4. С. 552 – 562.

21. Grigoriev Yu. D., Melas V. B., Shpilev P. V. Excess and saturated D-optimal designs for the rational model. Statistical Papers. DOI: 10.1007/s00362-019-01140-9. Regular Article/ Publisher online: 15 October 2019.

22. Цехан О. Б. Матричный анализ: учебное пособие. — М.: Форум, 2012. — 360 с.

23. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

24. Витченко А. Г. Навигация и лоция. — М.: Пищевая промышленность, 1978. — 432 с.