Интервальные методы в задачах оптимального управления

Рассмотрена задача оптимального управления линейным динамическим объектом в условиях неполной информации об исходных данных. Проведен анализ подходов, базирующихся на различных моделях описания неопределенности. Показано, что использование подхода, основанного на вероятностной модели описания неопределенности, целесообразно лишь в случае, когда неопределенность связана только со случайностью, описание других источников неопределенности в рамках этой модели затруднительно, а формальное применение аппарата регрессионного анализа дает результаты, далекие от истинных. Нечеткая модель пригодна для описания широкого спектра источников неопределенности, однако ее применение встречает методологические трудности при сравнении и ранжировании нечетких чисел и сглаживании нечетких данных. В этой связи представляется перспективным применение подхода, основанного на интервальной модели, позволяющей описать широкий класс неопределенных и неточных исходных данных. В целях унификации алгоритмов управления для систем, описываемых уравнениями состояния различного вида с интервально заданными параметрами, разработан алгоритм эквивалентных преобразований, позволяющий осуществлять переход к специальным формам представления матрицы состояния, обеспечивая при этом сохранение всех динамических свойств исходной системы. Для обеспечения реализации алгоритма решены задачи построения области значений корней матрицы системы и ее описания приближением в виде интервального вектора. Предложен подход к решению задач терминального управления и максимального быстродействия, когда неопределенность в исходных данных описывается интервальной моделью, а для решения задачи используется аппарат интервального анализа. Показано, что в этом случае при непосредственном использовании классической постановки задачи оптимального управления без учета неопределенности не существует единственного оптимального управления, гарантирующего точный перевод объекта в требуемое конечное состояние при любых значениях параметров из заданного интервала их возможных значений. Поэтому при наличии интервальной неопределенности на исходные данные задачи нельзя говорить о ее решении в том смысле, в котором оно понимается при точно известных параметрах, и следует пересмотреть сам подход к постановке задачи управления в целях определения в дальнейшем решения, обеспечивающего гарантированную точность перевода системы. В этой связи задачу управления в условиях интервальной неопределенности предлагается сформулировать как задачу определения множества управляющих воздействий, гарантирующих ее решение с заданной до интервала точностью, на множестве известных с точностью до интервала исходных данных. На примере задачи с неточно известным начальным состоянием показано, что если множество возможных начальных состояний объекта принадлежит n-мерному прямоугольному параллелепипеду, то при реализации на объекте управления, рассчитанного для любого начального состояния из заданного множества, множество конечных состояний является выпуклым и представляет собой n-мерный параллелепипед. Для его построения достаточно определить лишь координаты вершин, соответствующих вершинам выше определенного n-мерного прямоугольного параллелепипеда. Предложена система неравенств, определяющая условие принадлежности множества конечных состояний объекта, полученных при реализации управления при любом возможном значении начального состояния из заданного множества, требуемому множеству конечных состояний. На основе указанной системы неравенств сформулированы условия, позволяющие априори ответить на вопрос о разрешимости задачи.

1. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: КД Либроком, 2018. — 656 с.

2. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Вильямс И. Д., 2019. — 912 с.

3. Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.

4. Алексеева И. У. Теоретическое и экспериментальное исследование законов распределения погрешностей, их классификация и методы оценки их параметров: автореферат дис. ... канд. техн. наук. — Л., 1975. — 20 с.

5. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 165 с.

6. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. — М.: Издательство «XYZ», 2013. — 606 с.

7. Скибицкий Н. В., Севальнев Н. В. Интервальные модели в задачах оптимального управления с дифференциальными связями / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2015. Т. 81. № 11. С. 66 – 73.

8. Орлов А. И. Статистика интервальных данных / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2015. Т. 81. № 3. С. 61 – 69.

9. Вощинин А. П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2002. Т. 68. № 1. С. 118 – 126.

10. Алефельд Г. Ш., Херцберг Ю. Введения в интервальные вычисления. — М.: Мир, 1987. — 370 с.

11. Вощинин А. П., Скибицкий Н. В. Обработка неточных данных как неопределенных чисел / Вестник МЭИ. 2005. № 3. С. 95 – 107.

12. Гайдук А. Р. Алгебраические методы анализа и синтеза систем автоматического управления. — Ростов-на-Дону: Издательство РГУ, 1988. — 208 с.

13. Скибицкий Н. В., Чекавинская Я. С. Преобразование модели системы управления в условиях интервальной неопределенности / Вестник МЭИ. 2012. № 1. С. 91 – 96. DOI:10.24160/1993-6982-2021-6-115-121

14. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Физматлит, 2018. — 384 с.

15. Афанасьев В. Н. Оптимальные системы управления. Аналитическое конструирование. — М.: Изд-во МИЭМ, 2007. — 259 с.

16. Понтрягин Л. С. Принцип максимума в оптимальном управлении. — М.: Изд-во URSS, 2019. — 64 с.

17. Косарева Л. Л., Скибицкий Н. В. Решение задачи терминального управления линейным объектом в условиях интервальной неопределенности / Вестник МЭИ. 2018. № 1. С. 91 – 97. DOI:10.24160/1993-6982-2018-1-91-97