Методологические вопросы теории нечеткости (обобщающая статья)

Теория нечеткости — важная область современной теоретической и прикладной математики. Методология теории нечеткости — это учение об организации деятельности в области разработки и применения научных результатов этой теории. В работе рассмотрены некоторые методологические вопросы теории нечеткости, т.е. отдельные составляющие методологии в данной области. Теория нечеткости — наука о прагматических (размытых) числах и множествах. Древнегреческий философ Евбулид показал, что понятия «Куча» и «Лысый» нельзя описать с помощью натуральных чисел. Определять нечеткое множество с помощью функции принадлежности предложил Э. Борель. В 1965 г. Л. А. Заде дал основные определения алгебры нечетких множеств — ввел операции пересечения, произведения, объединения, суммы, отрицания нечетких множеств. Главное, он продемонстрировал возможности расширения («удвоения») математики. Другими словами, заменяя используемые в математике числа и множества на их нечеткие аналоги, получаем новые математические постановки. В статистике нечисловых данных развиты методы статистического анализа нечетких множеств. Часто используют конкретные виды функций принадлежности — интервальные и треугольные нечеткие числа. Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств. Мы мыслим нечетко и только поэтому понимаем друг друга. Парадокс теории нечеткости — нельзя последовательно реализовать тезис «все в мире нечетко». У обычных нечетких множеств аргумент и значения функции принадлежности являются четкими. Если их заменить на нечеткие аналоги, то для их описания понадобятся свои четкие аргументы и функции принадлежности, и так — до бесконечности. Системная нечеткая интервальная математика исходит из необходимости учета размытости исходных данных и предпосылок математической модели. Одним из вариантов ее практической реализации является автоматизированный системно-когнитивный анализ и интеллектуальная система «Эйдос».

1. Таранцев А. А. О возможности построения регрессионных моделей при нечеткой исходной информации / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1999. Т. 65. № 1. С. 67 – 70.

2. Хургин Я. И. Четкие и нечеткие алгебраические средние и их использование / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2000. Т. 66. № 1. С. 64 – 66.

3. Гермашев И. В., Дербишер В. Е., Морозенко Т. Ф., Орлова С. А. Оценка качества технических объектов с использованием нечетких множеств / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2001. Т. 67. № 1. С. 65 – 68.

4. Клементьева С. В. Применение теории нечетких множеств для измерения и оценки эффективности реализации наукоемкой продуктовой инновации / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006. Т. 72. № 11. С. 65 – 69.

5. Орлов А. И. Системная нечеткая интервальная математика — основа инструментария математических методов исследования / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2022. Т. 88. № 7. С. 5 – 7. DOI: 10.26896/1028-6861-2022-88-7-5-7

6. Орлов А. И. Обобщенная аддитивно-мультипликативная модель оценки рисков на основе нечетких и интервальных исходных данных / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2023. Т. 89. № 1. С. 74 – 84. DOI: 10.26896/1028-6861-2023-89-1-74-84

7. Новиков А. М., Новиков Д. А. Методология. — М.: СИНТЕГ, 2007. — 668 с.

8. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. — М.: МЦНМО, 2020. — 276 с.

9. Zadeh L. A. Fuzzy sets / Information and Control. 1965. Vol. 8. N 3. P. 338 – 353.

10. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.

11. Птускин А. С. Нечеткие модели и методы в менеджменте. — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. — 215 с.

12. Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.

13. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. — М.: Мысль, 1986. — 571 с.

14. Ивин А. А. Логика. Учебное пособие. Изд. 2-е. — М.: Знание, 2012. — 334 с.

15. Bergmann M. An Introduction to Many-Valued and Fuzzy Logic: Semantics, Algebras, and Derivation Systems. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008. — 313 p.

16. Борель Э. Вероятность и достоверность. — М.: ГИФМЛ, 1961. — 120 с.

17. Вощинин А. П. Метод анализа данных с интервальными ошибками в задачах проверки гипотез и оценивания параметров неявных линейно параметризованных функций / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2000. Т. 66. № 3. С. 51 – 64.

18. Вощинин А. П. Интервальный анализ данных: развитие и перспективы / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2002. Т. 68. № 1. С. 118 – 126.

19. Вощинин А. П., Скибицкий Н. В. Интервальный подход к выражению неопределенности измерений и калибровке цифровых измерительных систем / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2007. Т. 73. № 11. С. 66 – 71.

20. Скибицкий Н. В. Построение прямых и обратных статических характеристик объектов по интервальным данным / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2017. Т. 83. № 1. Ч. 1. С. 87 – 93.

21. Левин В. И. Интервальные уравнения в задачах обработки данных / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2018. Т. 84. № 3. С. 73 – 78. DOI: 1026896/1028-6861-2018-84-3-73-78

22. Скибицкий Н. В. Решение задачи аналитического описания статических характеристик в условиях интервальной неопределенности / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2019. Т. 85. № 3. С. 64 – 74. DOI: 10.26896/1028-6861-2019-85-3-64-74

23. Шарый С. П. Задача восстановление зависимостей по данным с интервальной неопределенностью / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2020. Т. 86. № 1. С. 62 – 74. DOI: 10.26896/1028-6861-2020-86-1-62-74

24. Скибицкий Н. В. Разработка паспортной статической характеристики системы на основе интервального подхода / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2021. Т. 87. № 1. С. 68 – 76. DOI: 10.26896/1028-6861-2021-87-1-68-76

25. Скибицкий Н. В. Интервальные методы в задачах оптимального управления / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2022. Т. 88. № 5. С. 71 – 82. DOI: 10.26896/1028-6861-2022-88-5-71-82

26. Лебег А. Об измерении величин. Изд. 2-е. — М.: Учпедгиз, 1960. — 204 с.

27. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: URSS, 2022. — 600 с.

28. Goodman I. R. Fuzzy sets as equivalence classes of random sets / Fuzzy Set and Possibility Theory: Recent Developments. — New York – Oxford – Toronto – Sydney – Paris – Frankfurt: Pergamon Press, 1982. P. 327 – 343.

29. Орлов А. И. Математика нечеткости / Наука и жизнь. 1982. № 7. С. 60 – 67.

30. Zadeh L. A. The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to Approximate Reasoning-1 / Information Sciences. 1975. Vol. 8. P. 199 – 249.

31. Mendel J., Hagras H., Tan W.-W., Melek W. W., Ying H. Introduction To Type-2 Fuzzy Logic Control: Theory and Applications. — New Jersey: Wiley-IEEE Press, 2014. — 376 p.

32. Григорьева Д. Р., Гареева Г. А., Басыров Р. Р. Основы нечеткой логики. — Набережные Челны: Изд-во НЧИ КФУ, 2018. — 42 с.

33. Гвоздик М. И., Абдулалиев Ф. А., Шилов А. Г. Модели оценки рисков в нечеткой среде с использованием логического вывода на нечетких множествах первого порядка / Вестник Санкт-Петербургского университета Государственной противопожарной службы МЧС России. 2017. № 2. С. 107 – 120.

34. Гвоздик М. И., Абдулалиев Ф. А., Шилов А. Г. Модели оценки рисков в нечеткой среде на нечетких множествах второго порядка / Вестник Санкт-Петербургского университета Государственной противопожарной службы МЧС России. 2017. № 3. С. 93 – 106.

35. Орлов А. И., Луценко Е. В. Анализ данных, информации и знаний в системной нечеткой интервальной математике: научная монография. — Краснодар: КубГАУ, 2022. — 405 с.

36. Елисеева И. И., Курышева С. В., Нерадовская Ю. В. и др. Эконометрика: учебник для вузов. — М.: ЮРАЙТ, 2020. — 449 с.