A-оптимальные планы эксперимента для модели Михаэлиса – Ментен

Кинетика простых и сложных кинетических реакций, как правило, описывается экспоненциальными и рациональными моделями. К числу последних относится известная модель ферментативной кинетики Михаэлиса – Ментен. В работе представлены A-оптимальные планы для модели Михаэлиса – Ментен. Для их построения использован метод исключения, позволяющий разделить задачи определения узлов и весов и тем самым распространить указанный подход на другие критерии и модели рационального типа. Показано, что узлами A-оптимальных планов являются корни алгебраического уравнения 4-й степени с коэффициентами, зависящими от трех параметрических комплексов, один из которых хорошо известен специалистам в области ферментативной кинетики, а на двух других, возможно, акцентируем внимание впервые. Если узлы A-оптимального плана уже известны, то веса соответствующих узлов определяются аналитически по формуле Пукельсхайма. С помощью построенной в общем виде системы Штурма для полученного уравнения исследованы свойства его корней, а также свойства узлов A-оптимальных планов. Показано, что при определенных комбинациях значений параметров модели степень соответствующего алгебраического уравнения понижается до трех. Найдено разбиение множества значений параметров модели Михаэлиса – Ментен на два подмножества, для одного из которых A-оптимальный план определяется однозначно, а для другого требуется выбор оптимального узла из двух возможных вариантов. Для точек кривой, являющейся общей границей указанных подмножеств, степень найденного алгебраического уравнения равна трем, при этом искомый узел A-оптимального плана определяется однозначно. Для иллюстрации полученных результатов приведены соответствующие числовые примеры.

1. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1971. — 312 с.

2. Григорьев Ю. Д. Методы оптимального планирования эксперимента: линейные модели. — СПб.: Лань, 2015. — 320 с.

3. Grigoriev Yu. D., Melas V. B., Shpilev P. V. Excess and saturated D-optimal designs for the rational model / Statistical Papers. 2021. Vol. 62. N 4. P. 1387 – 1405.

4. Melas V. B., Shpilev P. V. L-Optimal Designs for a Trigonometric Fourier Regression Model with no Intercept / Vestn. SPb. Univ. Matem. 2022. Vol. 55. N 1. P. 48 – 56.

5. Melas V. B., Shpilev P. V. Study of the Excess Property of the L-Optimal Design for the Label Model / Vestn. SPb. Univ. Matem. 2022. Vol. 55. N 3. P. 313 – 320.

6. Григорьев Ю. Д. Q-оптимальные и близкие к ним планы эксперимента для полиномиальной регрессии на отрезке / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2020. Т. 86. № 1. С. 65 – 72. DOI: 10.26896/1028-6861-2020-86-1-65-72

7. Kiefer J. General Equivalence Theory for Optimum Designs (approximate theory) / Ann. Stat. 1974. Vol. 2. N 5. P. 849 – 879.

8. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Математические задачи дальномерной навигации. — М.: Физматлит, 2007. — 272 с.

9. Владимирова О. В., Григорьев Ю. Д. Планирование эксперимента и обработка данных в дальномерной задаче определения места / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2021. Т. 87. № 3. С. 76 – 84.

10. Rasch D. Optimum Experimental Design in Nonlinear Regression / Commun. Statist., Theor. Meth. 1990. Vol. 19. N 12. P. 4789 – 4806.

11. Dette H., Wong W. K. E-optimal designs for the Michaelis – Menten model / Statistics and Probability Letters. Vol. 44. N 4. 405 – 408.

12. Горский В. Г. Планирование кинетических экспериментов. — М.: Наука, 1984. — 240 с.

13. Корниш-Боуден Э. Основы ферментативной кинетики. — М.: Мир, 1979. — 280 с.

14. Куликов А. В., Воронова И. П., Жанаева Е. Ю. Чувствительный флюориметрический метод определения активности триптофангидроксилазы в структурах мозга / Вопросы мед. химии. 1988. Т. 34. № 2. С. 120 – 123.

15. Pukelsheim F. Optimal Design of Experiments. — Philadelphia: SIAM, 2006.

16. Калинина Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. — СПб: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. — 72 с.

17. Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МНЦМО, 2000. — 336 с.

18. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.