Оценивание параметров гамма-распределения

Постановки задач статистического анализа данных, имеющих гамма-распределение, относятся к классической математической статистике. Однако не все они были решены в рамках параметрической статистики. Необходимо заполнить лакуны (как, например, и в случае бета-распределения), поскольку в настоящее время гамма-распределение широко используется в теоретических и прикладных работах. Примером является ГОСТ 11.011–83 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения». Стандартное гамма-распределение определяется параметром формы. При переходе к масштабно-сдвиговому семейству добавляются параметры масштаба и сдвига. Рассмотрены семь постановок задач оценивания параметров, поскольку каждый из трех параметров может быть как неизвестным, так и известным. Для каждой из постановок найдены оценки метода моментов и их асимптотические дисперсии. При известном параметре сдвига получены оценки максимального правдоподобия. Одношаговые оценки, асимптотически эквивалентные оценкам максимального правдоподобия, используем при неизвестном параметре сдвига. Наличие погрешностей измерения отражается на точности оценок параметров при применении тех или иных алгоритмов расчетов. В ГОСТ 11.011–83 на основе модели интервальных данных даны правила выбора метода оценивания при неизвестных параметрах формы и масштаба и известном параметре сдвига. При разработке ГОСТ 11.011–83 выявлены проблемы, для решения которых предложены новые с научной точки зрения методы. Новые научные результаты, полученные в ходе решения практической задачи (разработки ГОСТ 11.011–83), привели к созданию новых научных направлений. Речь идет о статистике интервальных данных, а также об одношаговых оценках. К настоящему времени статистика интервальных данных как раздел математической статистики достаточно развита и охватывает все основные области статистических методов. Она является важной составной частью системной нечеткой интервальной математики.

1. Balakrishnan N., Nevzorov V. B. A primer of statistical distributions. — New Jersey: Wiley-Interscience, 2003. — 328 p.

2. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. — М.: Статистика, 1980. — 95 с.

3. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая Рос. Энцикл., 1999. — 910 с.

4. Орлов А. И. Сертификация и статистические методы (обобщающая статья) / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1997. Т. 63. № 3. С. 55 – 62.

5. Орлов А. И. Статистический анализ выборок из бета-распределения / Научный журнал КубГАУ. 2023. № 03(187). С. 184 – 206.

6. Ившин В. В. Статистические задачи оценивания надежности в модели «нагрузка – прочность» в случаях гамма-распределения и распределения Вейбулла / Вестник Пермского государственного технического университета. Математическое моделирование систем и процессов. 1994. № 2. С. 43 – 49.

7. Рязанский В. П., Юдин С. В. Гамма-функция как основа трехпараметрического распределения параметров точности и надежности изделий оборонной промышленности / Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. ¹ 2. С. 603 – 612.

8. Johnson N. L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous univariate distributions. Vol. 1. Second edition. — New York – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapore: Jonh Wiley and Sons, 1994. — 777 p.

9. Бендерский А. М., Невельсон М. Б. Оценивание параметра формы гамма-распределения / Надежность и контроль качества. 1981. № 10. С. 14 – 21.

10. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. — М.: Советское радио, 1962. — 553 с.

11. Burgin T. A. The gamma distribution and inventory control / Operational Research Quarterly. 1975. Vol. 26. N 4. P. 377 – 519.

12. Свичинский С. В., Макаричев А. В. Обоснование гамма-распределения длин путей следования пассажиров маршрутным транспортом / Модернизация и научные исследования в транспортном комплексе. 2013. Т. 2. С. 341 – 349.

13. Волк А. М. Анализ свойств статистических оценок параметров обобщенного гамма-распределения / Труды БГТУ. Серия 3: Физико-математические науки и информатика. 2023. № 1(266). С. 10 – 14.

14. Кудрявцев А. А., Шестаков О. В., Шоргин В. С. Метод оценивания параметров изгиба, формы и масштаба гамма-экспоненциального распределения / Информатика и ее применения. 2021. Т. 15. № 3. С. 57 – 62.

15. Карпов И. Г., Зырянов Ю. Т., Мельник О. В. Модель закона распределения непрерывных случайных величин на основе гамма-распределения / Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2014. № 3(305). С. 26 – 30.

16. Долгов А. Ю., Терещенко Е. В., Сорочан А. А. Исследование статистической гипотезы в условиях гамма-распределения / Вестник Приднестровского университета. Серия: Физико-математические и технические науки. Экономика и управление. 2018. № 3(60). С. 112 – 118.

17. Орлов А. И. Прикладной статистический анализ: учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 812 с.

18. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1964. — 344 с.

19. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. — 896 с.

20. Сатаров Г. А., Шмерлинг Д. С. Новая статистическая модель парных сравнений / Экспертные оценки в задачах управления: Сб. тр. — М.: Изд-во Института проблем управления АН СССР, 1982. С. 67 – 79.

21. Лапига А. Г. Многокритериальные задачи управления качеством: построение прогноза качества в балльной шкале / Заводская лаборатория. 1983. Т. 49. № 7. С. 55 – 59.

22. Закс Ш. Теория статистических выводов. — М.: Мир, 1975. — 776 с.

23. Бахмутов В. О., Косарев Л. Н. Использование метода максимального правдоподобия для оценки однородности результатов усталостных испытаний / Заводская лаборатория. 1986. Т. 52. № 5. С. 52 – 57.

24. Резникова А. Я., Шмерлинг Д. С. Оценивание параметров вероятностных моделей парных и множественных сравнений / Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвузовский сб. науч. тр. — Пермь: Изд-во Пермского госуниверситета, 1984. С. 110 – 120.

25. Орлов А. И. Искусственный интеллект: статистические методы анализа данных: учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 843 с.

26. Орлов А. И. Статистика интервальных данных (обобщающая статья) / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2015. Т. 81. № 3. С. 61 – 69.

27. Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика. Монография (научное издание). — Краснодар, КубГАУ, 2014. — 600 с.

28. Лумельский Я. П. К вопросу сравнения несмещенных и других оценок / Прикладная статистика: Сб. тр. — М.: Наука, 1983. С. 316 – 319.

29. Бутов А. А., Волков М. А., Макаров В. П., Орлов А. И., Шаров В. Д. Автоматизированная система прогнозирования и предотвращения авиационных происшествий при организации и производстве воздушных перевозок / Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2012. Т. 14. ¹ 4(2). С. 380 – 385.