Скалярная мера взаимосвязи между несколькими случайными векторами

Рассмотрена задача оценивания тесноты взаимосвязи между несколькими случайными векторами произвольной размерности. Эти случайные векторы могут иметь произвольные многомерные непрерывные законы распределения. Ранее в рамках энтропийного подхода были получены показатели оценки тесноты корреляционной взаимосвязи между компонентами одного случайного вектора и между двумя случайными векторами. Цель работы — обобщение полученных ранее результатов на случай нескольких случайных векторов. Предложено аналитическое выражение для коэффициента тесноты взаимозависимости между случайными векторами. Он выражается через коэффициенты детерминации условных регрессий между компонентами случайных векторов. Для введенной скалярной меры взаимосвязи получен ряд частных результатов, которые оказались известными коэффициентами корреляционной связи. Для случая гауссовских случайных векторов выведена более простая формула. Она выражается через определители каждого из случайных векторов и определитель их объединения. Предложенный коэффициент может использоваться для исследования сетевых структур, состоящих из множества подсистем. В частности, введен коэффициент корреляции системы в вершине. Данная мера позволяет однозначно оценивать тесноту взаимозависимости между несколькими случайными векторами произвольных размерностей. Ее можно практически использовать на реальных выборках данных. Приведен пример расчета тесноты взаимосвязи между тремя гауссовыми случайными векторами.

1. Hair J. F., Black W. C., Babin B. J. Multivariate Data Analysis. 8th ed. — Cengage, 2019. — 834 p.

2. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910 с.

3. Adachi K. Matrix-Based Introduction to Multivariate Data Analysis. 2nd ed. — Springer, 2020. — 457 p.

4. Hardle W. K., Simar L. Applied Multivariate Statistical Analysis. 5th ed. — New York: Springer, 2019. — 550 p.

5. Новиков Д. А. Сетевые структуры и организационные системы. — М.: ИПУ РАН, 2003. — 102 с.

6. Algaba E., van den Brink R., Dietz C. Network Structures with Hierarchy and Communication / J. Optimization Theory Appl. 2018. Vol. 179. P. 265 – 282. DOI: 10.1007/s10957-018-1348-8

7. Dodonov A., Lande D. Modeling the survivability of network structures / CEUR Workshop Proceedings. 2021. Vol. 2859. P. 1 – 10.

8. Тырсин А. Н. Скалярная мера взаимозависимости между случайными векторами / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2018. Т. 84. № 7. С. 76 – 82. DOI: 10.26896/1028-6861-2018-84-7-76-82

9. Тырсин А. Н. Мера совместной корреляционной зависимости многомерных случайных величин / Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2014. Т. 80. № 1. С. 76 – 80.

10. Shannon C. E. A Mathematical Theory of Communication / The Bell Syst. Tech. J. 1948. Vol. 27. N 4. P. 623 – 656.

11. Тырсин А. Н. Энтропийное моделирование многомерных стохастических систем. — Воронеж: Научная книга, 2016. — 156 с.

12. Pena D., Van der Linde A. Dimensionless Measures of Variability and Dependence for Multivariate Continuous Distributions / Comm. Stat. Theory Meth. 2007. Vol. 36. N 10. P. 1845 – 1854. DOI: 10.1080/03610920601126449

13. Chesneau Ch., El Kolei S., Kou J., Navarro F. Nonparametric estimation in a regression model with additive and multiplicative noise / J. Comput. Appl. Math. 2020. Vol. 380. P. 1 – 26. Art. 112971. DOI: 10.1016/j.cam.2020.112971

14. Chandna S., Maugis P.-A. Nonparametric regression for multiple heterogeneous networks / arXiv preprint arXiv: 2001. 04938, 2020. — 26 p.

15. Cizek P., Sadıkoglu S. Robust nonparametric regression: A review / WIREs Comput Stat. e1492. 2019. Vol. 12. N 3. P. 1 – 16. DOI: 10.1002/wics.1492

16. Maharani M., Saputro D. R. S. Generalized Cross Validation (GCV) in Smoothing Spline Nonparametric Regression Models / J. Phys. Conf. Ser. 2021. Vol. 1808. P. 1 – 7. Art. 012053. DOI: 10.1088/1742-6596/1808/1/012053