О методах оптимизации в задачах планирования эксперимента

Известна новая модификация моделирования отжига для поиска глобального экстремума функций многих переменных. Модификация использует тот факт, что функция F_n(x) = при n → ¥ сходится к δ-функции, сосредоточенной в точке глобального максимума f(x). Подробно рассматривался случай, когда функция имеет много равных экстремумов. Задачи такого типа часто встречаются, в частности, при планировании регрессионных экспериментов. Данная работа знакомит читателя с методом поиска экстремума, эффективным при решении широкого круга прикладных задач, а также иллюстрирует его применение на некоторых простейших задачах планирования регрессионных экспериментов. Предложенная модификация имитации отжига использует на промежуточных этапах квазислучайный поиск. Это не самый быстрый, но очень надёжный метод, позволяющий достаточно полно обследовать область определения функции. При решении численных примеров построены так называемые точные D-оптимальные планы, которые очень трудно получить другими методами. Хотя с ростом числа переменных трудоёмкость метода (как и других известных методов) резко возрастает за счёт увеличения порядка определителя, предложенный алгоритм прост, надёжен и легко распараллеливается. Известно, что выигрыш от использования оптимальных планов в ряде случаев способен оправдывать любые вычислительные затраты на построение этих планов. Используя описанную в работе методику, читатель сможет построить даже с помощью ноутбука оптимальные планы для разных областей при умеренных значениях параметров (например, для квадратичной регрессии от s переменных при s ≤ 10).

1. Kirkpatrick S., Gelatt C. D., Vecchi M. P. Optimization by Simulated Annealing / Science. 1983. Vol. 220(4598). P. 671 – 680.

2. Ермаков С. М., Куликов Д. В., Леора С. Н. К анализу метода имитации отжига в многоэкстремальном случае / Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 2. С. 220 – 227.

3. Ермаков С. М. О рандомизации квазислучайных последовательностей Холтона / Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 4. С. 570 – 576.

4. Григорьев Ю. Д. Методы оптимального планирования эксперимента: линейные модели: Учебное пособие. — СПб.: Лань. 2015. — 320 с.

5. Федоров В. В. Теория оптимального планирования эксперимента. — М.: Наука, 1971. — 312 с.

6. Kiefer J., Wolfowitz J. The equivalence of two extremum problems / Canad. J. Math. 1960. N 12. P. 363 – 366.

7. Kiefer J. General equivalence theory for optimum designs (approximate theory) / The Annals of Statistics. 1974. Vol. 2. P. 849 – 879.