О напряженном состоянии соединения при изгибе балки с упругим покрытием

Рассмотрено совместное деформирование двух упругих слоев, один из которых является покрытием, нанесенным на поверхность более толстого слоя. Принято, что в плоскости контакта слоев проскальзывание отсутствует. Соединение находится под действием внешней нагрузки, приложенной к покрытию перпендикулярно его поверхности и неизменяющейся по ширине. Нагрузка на боковые плоскости соединения отсутствует, что позволяет считать соединение двухслойной балкой и для описания его деформирования использовать систему уравнений плоской задачи теории упругости. Для ее решения применяется асимптотический метод. Искомые функции, нормальные и касательные напряжения, а также компоненты перемещения произвольной точки, балки и покрытия разлагаются в ряды по степеням малого параметра. В качестве такого параметра принята половина толщины соответствующего слоя. В отличие от известных асимптотических разложений предложен вариант асимптотического метода, в котором все искомые функции асимптотически равноправны в том смысле, что они разлагаются в асимптотические ряды одинаковой структуры. В рядах присутствуют все положительные степени малого параметра. В этом случае асимптотический алгоритм приводит к появлению двух независимых между собой рекуррентных систем линейных уравнений, что существенно упрощает их решение. В каждом приближении для одного упругого слоя алгоритм порождает пять неопределенных функций продольной координаты. С учетом быстрой сходимости асимптотических рядов для построения математической модели деформирования соединения балки с покрытием использовано первое асимптотическое приближение. Метод приводит к появлению десяти неопределенных функций координаты x. Они позволяют выполнить восемь условий непрерывности напряженно-деформированного состояния по толщине соединения. Остаются пока неопределенными две функции. Для них из принципа минимума потенциальной энергии деформации выведены уравнения равновесия, представляющие собой систему двух линейных дифференциальных уравнений шестого порядка, и соответствующие граничные условия. Граничные условия можно реализовать в статическом и кинематическом вариантах. При проведении вычислений использован первый вариант. Числовые результаты получены для двух видов поверхностной нагрузки — постоянной и синусоидально меняющейся по длине соединения. Отмечено, что при исследовании напряженного состояния покрытия необходимо учитывать не только нормальные, но и касательные напряжения, величина которых при изгибе соединения может быть весьма существенной.

1. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.

2. Агаловян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин. — М.: Наука, 1997. — 414 с.

3. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластин методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости / Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. № 4. С. 669 – 686.

4. Рябенков Н. Г., Файзуллина Р. Ф. О единой асимптотической природе методов решения задачи теории упругости для плит и пластин / ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 3. С. 440 – 448.

5. Рябенков Н. Г. Полигармонические функции в структурах точных решений теории упругости / Математика. 2013. № 7. С. 45 – 51.

6. Ryabenkov N. G. Polyharmonic functions in structures of exact solutions of elastic theory / Russion mathematics. 2013. Vol. 57. N 7. P. 39 – 44.

7. Рябенков Н. Г., Файзуллина Р. Ф. Асимптотический метод в теории деформирования плоского упругого тела / Механика твердого тела. 2005. № 3. С. 53 – 59.